Al describir la historia de las matemáticas lo adecuado sería ofrecer una visión integral que incorporara las contribuciones matemáticas de otras culturas importantes además de la occidental; sin embargo, no es éste nuestro propósito en la presente reseña orientada a la comprensión de la creación de las geometrías no euclidianas. Así pues, vamos a comenzar este libro con el establecimiento de una periodización histórica, en general en concordancia con la historia de la sociedad occidental.

• Una primera etapa podemos decir que fue la greco-romana, donde la fase griega fue más sustantiva y significativa para las ciencias y las matemáticas.

• Una segunda etapa: la época medieval, dominada esencialmente por una atmósfera cultural poco propicia para el progreso de las ciencias y, por ende, un escaso desarrollo social y científico.

• Una tercera etapa: el Renacimiento, donde lo fundamental fue un cambio de actitud frente al conocimiento y frente a la vida.

• Una cuarta etapa fue la Revolución Científica en el siglo XVII y, si se quiere, parte del siglo XVIII.

• Podemos decir que una quinta etapa la constituye el trabajo realizado por los matemáticos del siglo XVIII y parte del XIX, cuya característica esencial fue el desarrollo de los temas y métodos matemáticos generados en la revolución matemática y científica del XVII, con especial énfasis en trabajos relacionados con el Cálculo Diferencial e Integral.

• Una sexta etapa se desarrolla en el siglo XIX, donde los elementos significativos fueron el desarrollo del álgebra y en particular de la teoría de grupos, la geometría proyectiva, las geometrías no euclidianas y la rigorización del análisis y las matemáticas en general.

Se puede decir que en algún momento en esta última etapa emerge la matemática moderna que llega hasta nuestros días. Es una decisión algo convencional el establecer los límites finales de una sexta etapa y el inicio de una sétima, con toda precisión, porque las principales tendencias que todavía dominan las matemáticas, de alguna forma, fueron planteadas y desarrolladas durante el mismo siglo XIX.

En este capítulo no ponemos énfasis en los resultados propiamente matemáticos sino, más bien, en lo aspectos históricos generales que nos permitan ubicar el trabajo de los matemáticos. Es decir, no hay detalles matemáticos solo descripción de fases y características históricas globales de interés especial para la comprensión del lugar intelectual que ocupan las geometrías no euclidianas.

1.1 EN LA ANTIGÜEDAD GRIEGA

Los primeros desarrollos de la geometría y, en general, de las matemáticas podemos decir que se encuentran alrededor de la cultura helénica, en la Grecia Antigua. Esta cultura fue una base esencial de la civilización occidental.

Thales y Pitágoras

Los primeros nombres de matemáticos que vienen a nuestra mente son los de Thales de Mileto (circa 625-545 a.C.) y Pitágoras de Samos (c. 580-500 a.c.), aunque no se sabe con exactitud cuáles son los resultados matemáticos que realmente obtuvieron. Probablemente, y a diferencia de otras obras como las de Platón (c. 429.348 a.C.) o Herodoto, no existen obras específicas que nos den certeza sobre sus trabajos y resultados.

En el caso de Pitágoras, que estableció una escuela científica y religiosa, ni siquiera se puede decir si los resultados que se le atribuyen son suyos o de sus discípulos y correligionarios.

En general, con relación a todas las obras de la Antigüedad Clásica es muy difícil saber con precisión el de-sarrollo histórico y las características específicas del mismo pues mucho se ha perdido a lo largo de tantos siglos. No obstante, podemos establecer algunas ideas y concensos en torno a este momento de las matemáticas griegas.

Un primer detalle: tanto Thales como Pitágoras tuvieron influencia de las civilizaciones del bronce, grandes culturas que dominaron el mundo conocido durante muchos siglos. Es Thales quien se supone que inició la geometría deductiva, y a quien se le atribuye el teorema de que un ángulo inscrito en una circunferencia es recto, y, también, que el círculo es dividido en dos partes iguales por un diámetro.

Egipto: una de las civilizaciones del Bronce

Podemos recordar que Thales fue miembro de una famosa escuela de pensadores que trataron de ofrecer una interpretación naturalista sobre la realidad, la Escuela Jónica. Se asegura que esta escuela constituye el primer eslabón en el desenvolvimiento de la cultura griega.

Los pitagóricos establecieron una doctrina importante sobre la naturaleza de los números: ellos consideraban a los números como el fundamento del universo; les daban a los números un significado abstracto. Para Pitágoras, cada cosa es un número específico y, por supuesto, diferentes cosas son representadas por diferentes números.

Pitágoras

Periodo Alejandrino

Una nueva época en la civilización griega comenzó a partir de la conquista realizada por los macedonios, un pueblo del norte de Grecia; se dice que los macedonios destruyeron la civilización griega clásica y generaron la apertura de una nueva fase en la historia griega. La conquista macedonia comenzó con Filipo II alrededor del año 352 a.C., de hecho Atenas fue derrotada en el 338 a.C.; sin embargo, quien más huella dejaría en la historia de la humanidad fue Alejandro El Grande, precisamente hijo de Filipo. Alejandro conquistó Grecia, el Cercano Oriente, Egipto y llegó hasta la India; sin embargo, murió muy pronto y su gran imperio se dividió en tres partes. Una de las partes que más importancia tendría para el desarrollo de Occidente y, en particular, de las ciencias, las técnicas y la matemática, fue el llamado Imperio de los Ptolomeos, cuya ciudad más importante llevó el nombre de Alejandría.

Eudoxo

Antes de la nueva fase alejandrina, debemos mencionar el trabajo de Eudoxo (c.408-355 a.C.) que nació en Cnido alrededor del año 408 a.C. Este fue uno de los matemáticos más importantes de toda la cultura griega. Eudoxo se supone fue discípulo de Arquitas (fl.c.400-360 a.C.), en Tarento; y también formó parte de la Academia de Platón. Es muy conocido por haber desarrollado el llamado método de exhausción , para aproximar áreas geométricas.

Es interesante mencionar que Eudoxo evitó considerar los números irracionales como números; evitó dar valores numéricos a longitudes de segmentos de recta, tamaño de ángulos y a otras magnitudes así como las razones entre ellas. Esto implicó una drástica separación entre geometría y aritmética, y un cambio en la orientación anterior que daba un énfasis al número como concepto central (visión pitagórica).

Euclides y Apolonio

Ya en pleno período alejandrino, se suele citar los nombres de Euclides (fl.c.300 a. C.) y de Apolonio de Perga (c.262-190 a.C.), aunque el trabajo de Apolonio se dice que posee el espíritu del período anterior.

Euclides es bien conocido por un famoso libro llamado Elementos, cuya influencia en la historia ha sido extraordinaria, precisamente porque sintetizó, resumió y sistematizó todo el conocimiento matemático previo y, en particular, a través de un método que echaba mano de la lógica: la axiomática. Ya hablaremos de Euclides en los siguientes capítulos. Ahora solo nos interesa colocar su contribución en el marco histórico que describimos.

Conjunto de puntos cuya distancia de un punto fijo es un múltiplo de su distancia de otro punto fijo

Arquímedes

La figura matemática más importante de toda la época podemos decir que fue Arquímedes (c.287-212 a.C.), quien estudió en Alejandría; aquel centro del Imperio de los Ptolomeos que fue una base para la cultura y el aprendizaje en el mundo griego.

Además del cálculo de áreas y volúmenes, aproximó el número , y obtuvo grandes resultados en hidrostática, astronomía, y mecánica.

Se afirma que tuvo relación con discípulos de Euclides precisamente en Alejandría y algunos de los detalles de su vida son conocidos por medio de una historia escrita por el famoso Plutarco, 45-120 d.C., (Vidas paralelas: Marcellus), acerca de un general romano llamado Marcelo.

Arquímedes

Algunas características de la época

Por razones que no vamos a desarrollar aquí, la matemática griega, a pesar de su grandeza, tuvo importantes limitaciones: poca relevancia del álgebra y la aritmética (podemos decir que existió un exceso de geometrización de las matemáticas) y una geometría limitada por reglas muy rígidas desprendidas de la construcción exclusiva con regla y compás.

Se afirma que pesó en todo esto el descubrimiento de los números irracionales, que enfrentaron la visión dominante pitagórica que afirmaba a los números enteros y racionales como fundamento del universo.

Otros asuntos como las paradojas de Zenón (c. 450 a.C.) también jugaron un papel en las características específicas de las matemáticas griegas.

La muerte de Arquímedes por un soldado romano

Los romanos

Por diversas razones, el mundo griego fue derrotado por Roma y se creó una nueva fase en el Mediterráneo gobernada por la influencia de los habitantes de la Península Italiana.

Los romanos dejaron su impronta en la historia occidental, pero, en pocos siglos, a eso del V siglo D.C., habían entrado en una plena decadencia.

Durante la época romana si bien se dieron progresos con relación a la organización política y jurídica, a los medios de transporte y distribución, para la cultura no representó una gran victoria: los trabajos en ciencias, matemáticas y en técnicas fueron prácticamente congelados; es decir: un gran retroceso durante siglos para el desarrollo del conocimiento.