1.5 EN EL SIGLO XVIII

Los matemáticos europeos de estos siglos sobrepasaron la producción matemática antigua; esto en términos cuantitativos y, sobre todo, cualitativos: nuevas disciplinas y nuevos conceptos matemáticos se crearon en este período.

Intuición y aplicación en las matemáticas

En el siglo XVIII las matemáticas fueron aún todavía de carácter más cuantitativo y con mayor aplicación física. A pesar de la gran cantidad de resultados que se dieron, muchos historiadores de la ciencia consideran que también había un marasmo lógico en los fundamentos de la matemática que se hacía. El corazón de las matemáticas era el Cálculo y aunque éste había generado un gran progreso poseía muchas lagunas lógicas; los números irracionales, por ejemplo, no serían admitidos sino hasta principios del mismo siglo XIX, aunque los números negativos y los complejos no.

Los matemáticos del siglo XVIII se concentraron en el Cálculo y en sus aplicaciones a la mecánica. Las principales figuras fueron el mismo Leibniz, los hermanos Bernoulli, Jacques (1654-1705) y Jean (1667-1748), Euler (1707-1783), Lagrange (1736-1813) y Laplace (1749-1827). Aunque debe incluirse a los matemáticos franceses Clairaut (1713-1765), D'Alambert (1717-1783) y Maupertuis (1698-1759), los hermanos suizos Nicolaus (1695-1726) y Daniel Bernoulli (1700-1782) hijos de Jean.

Podemos decir que la mayor parte de las matemáticas y la física entre 1600 y 1900 estuvo asociada de alguna manera a los métodos establecidos por el Cálculo Diferencial e Integral. Estos han sido aplicados extraordinariamente en todo fenómeno que exija una medición tanto en mecánica, magnetismo, electricidad, gravitación, calor, luz, movimiento ondular.

El carácter aplicado que predominó en las matemáticas del siglo XVII se amplió especialmente durante el siguiente siglo. Esto era coincidente, además, con una demanda creciente hacia el uso de las ciencias en la vida social (en la producción). Los influjos de la economía, las técnicas o la vida social en general afectan e influyen en la práctica matemática. Debe reconocerse este tipo de factores a la hora de estudiar la historia de las ciencias. Pero debe tenerse cuidado en no establecer condicionamientos muy mecánicos o simples. Las capacidades humanas para la creación intelectual suelen distanciarse de los contextos materiales y sociales inmediatos, y dejar correr la imaginación y el razonamiento lógico muy lejos. En el caso de las matemáticas esto es también cierto. El estudio de propiedades abstractas de la realidad (una vez conceptualizadas) puede ampliarse al margen de la influencia directa de la realidad social o material.

Un balance

En menos de dos siglos los matemáticos europeos lograron sobrepasar con creces los límites de toda la producción matemática de la Antigüedad. Eso se explica sin duda por las diferencias en las sociedades y en el trabajo intelectual que existió entre ambos tipos de organización social. Es importante señalar esta diferencia en tanto expresa la existencia de un ritmo muy elevado en la producción científica y matemática que ha sido -desde entonces- decisivo para el progreso de la cultura y la sociedad occidental. Debe subrayarse, además, que no solo se amplió cuantitativamente el número de trabajos sino que hubo un progreso cualitativamente superior, tanto en la profundidad de los métodos como en la creación de nuevos conceptos y diferentes disciplinas matemáticas.

Los matemáticos del siglo XVII terminaron de establecer varios cambios fundamentales con relación a las matemáticas antiguas:

• Papeles diferentes para el álgebra y la geometría: del dominio en métodos y criterios de rigor basados en la geometría (en la Antigüedad), se pasó a darle relevancia al álgebra.

• Los resultados de las matemáticas dejaron de percibirse como simples idealizaciones de la experiencia y se empezó a favorecer --lentamente-- un tratamiento más abstracto: de la idealización inmediata a la construcción de conceptos y métodos.

• La introducción del Cálculo con métodos alejados de los estándares de rigor y deducción de la geometría clásica promovió el uso de procesos inductivos.

• La estrecha relación entre matemáticas y ciencias naturales condujo a una interdependencia y fusión que no permitía muchas distinciones entre ciencias y matemática.

Las matemáticas del siglo XVIII, a diferencia de las del siglo XVII, fueron esencialmente cuantitativas. Fue un siglo de un gran desarrollo matemático conectado a la evolución de las ciencias llamadas naturales. Configuraba, como veremos, una situación que podríamos caracterizar como contradictoria. Se tenía una gran producción matemática, un gran éxito en la capacidad de predicción en la ciencia de los resultados matemáticos y, al mismo tiempo, según muchos historiadores "un marasmo lógico en los fundamentos''. El centro del Análisis era el Cálculo y a pesar de la enorme oscuridad lógica, a pesar del uso "liberal'' de los números, éste experimentó un enorme desarrollo.

El Análisis

El más grande de los matemáticos del siglo XVIII fue, sin duda, el suizo Leonhard Euler y el más prolífico de todas las épocas: 886 libros y artículos, sobre cada uno de los campos de la matemáticas de su época.

Leonhard Euler

El trabajo de este gran matemático permite apreciar la diversidad de los usos matemáticos y aplicaciones que podía tener el Cálculo: ecuaciones diferenciales, geometría analítica y diferencial de curvas y superficies, series y cálculo de variaciones. En la física, Euler usó la mecánica analítica (la aplicación del Cálculo a la mecánica tradicionalmente geométrica). Calculó la perturbación de los cuerpos celestes en la órbita de un planeta y las trayectorias de proyectiles lanzados en medios con resistencia determinada. Estudió la propagación del sonido y la consonancia y disonancia musicales. Fue el único de los científicos del siglo XVIII que afirmó el carácter ondulatorio de la luz (y no corpuscular y analizó el calor como oscilación molecular). Euler describió con ecuaciones diferencialesel movimiento de un fluido (ideal) y aplicó su modelo a la circulación sanguínea.

Según el parecer de algunos historiadores: Euler hizo por el Cálculo infinitesimal de Newton y Leibniz lo que Euclides hicieron por la Geometría de Eudoxo y Teeteto, o Vieta por el álgebra de Al-Khoarizmi y de Cardano. Con Euler los resultados de Newton y Leibniz se integraron armónicamente al Análisis, concebido éste como el campo matemático que engloba el estudio de los procesos infinitos. La obra que esencialmente realiza esta precisión y ampliación del Cálculo infinitesimal fue Introductio in analysin infinitorum, publicada en 1748. En este libro la idea de función, que estuvo presente de forma intuitiva en sus predecesores es convertida por Euler en el concepto central del nuevo análisis. El concepto de función y las funciones algebraicas y trascendentes elementales ya habían sido introducidas en el siglo XVII. En la consideración de varios problemas clásicos, Leibniz, Jacques y Jean Bernoulli, L'Hôpital, Huygens y Pierre Varignon usaron funciones conocidas y construyeron muchas otras de mayor complejidad.

De la misma manera, en este siglo se desarrolló también el cálculo de funciones de 2 y 3 variables. Aunque Newton, Jean y Nicolaus Bernoulli habían realizado la diferenciación en funciones de 2 variables, la teoría fue plenamente desarrollada por varios matemáticos: Alexis Fontaine de Bertins (1705-71), Euler, Clairaut y D'Alembert. Entre 1744 y 1745, D'Alembert trabajando en dinámica extendió el cálculo de las derivadas parciales.

Los matemáticos franceses del siglo XVIII

Aparte de Jean D'Alembert (1717-1783), Alexis Claude Clairaut y Etienne Bézout (1730-1783), Francia tuvo una presencia muy importante en las matemáticas de la última parte del siglo XVIII, con personalidades vinculadas o afectadas, de una u otra forma, con la Revolución Francesa.

Los seis grandes matemáticos de ese período fueron Lagrange (1736-1813), Legendre (1752-1833), Laplace (1749-1827), Condorcet (1743-1794), Monge (1746-1818), y Carnot (1753-1823). Todos ellos destinaron algunos de sus trabajos al Cál-culo diferencial e integral.

Por ejemplo, Monge hizo contribuciones a la geometría analítica y diferencial. También Carnot trabajó en geometría y, por otro lado, Legendre hizo aportes al Cálculo, a la teoría de funciones, la teoría de números, y la matemática aplicada.

Probablemente, quien más lejos llegó de este grupo de franceses fue Lagrange, considerado muchas veces el matemático más profundo del siglo XVIII (con Euler). Lagrange creó lo que se llama el cálculo de variaciones.

Laplace realizó contribuciones decisivas a las probabilidades, y a la mecánica (en particular a la astronomía). Se ha considerado su libro Mécanique céleste (1799-1825, 5 volúmenes) la culminación de la teoría newtoniana de la gravitación universal. Laplace demostró que el sistema del mundo (descrito por la matemática newtoniana) era estable. Algo así como que no era necesaria la intervención divina cotidianamente para el funcionamiento del universo.

La amplia aplicación física de las matemáticas por parte de los matemáticos de este siglo originó expresiones como que las matemáticas eran solo un instrumento para la física (Laplace), o que la historia se describía como una transición de un siglo XVII de matemáticas a una era de mecánica (D'Alambert, Denis Diderot, 1713-1784). Sin embargo, también estaba la opinión (Lagrange) de que la mecánica llegaría a ser parte del Análisis.

Una síntesis

En el siglo XVII hubo desarrollos importantes en el álgebra, se inició la Geometría Proyectiva y también la Teoría de las Probabilidades, se creó la Geometría Analítica, y muchos asuntos de la Antigüedad clásica fueron abordados y resueltos. Lo más importante, sin embargo, sería la creación del Cálculo Diferencial e Integral.

Ya en el siglo XVIII el Cálculo ampliaría extraordinariamente los campos abiertos y generaría nuevos, por ejemplo: las Series Infinitas, el Cálculo de Variaciones, la Geometría Diferencial, las Ecuaciones Diferenciales, el Análisis de Funciones con variables complejas y muchas otras.