2.1 LOS POSTULADOS

Los antiguos griegos creyeron que los seres humanos podían reconocer inmediatamente ciertas verdades acerca de las propiedades geométricas de los objetos físicos y del espacio que nos rodea. Por ejemplo que al tener dos puntos es posible trazar una y solo una recta por ellos. O que el todo siempre es más grande que cualquiera de sus partes.

"Verdades'' como las anteriores son las que se conocen como los famosos postulados y axiomas de la geometría clásica y que se encuentran en el libro Elementos de Euclides.

Los Elementos contiene trece libros o capítulos (aunque se le añadieron 2 libros más escritos por autores posteriores). Los primeros 6 son sobre geometría plana, los tres siguientes sobre teoría de números, el décimo sobre inconmensurables, y los tres últimos sobre geometría de sólidos. El libro empieza con 23 definiciones, dos de las cuales son:

• "un punto es lo que no tiene parte'',

• "una recta es una longitud sin anchura''.

Los postulados de Euclides también se encuentran en el Libro I de los Elementos. Se suele hacer una distinción entre postulados y nociones comunes o axiomas.

Postulados

1. Se puede trazar una recta desde un punto a otro cualquiera.

2. Es posible extender un segmento de recta continuamente a una recta.

3. Es posible describir un círculo con cualquier centro y cualquier radio.

4. Que todos los ángulos rectos son iguales.

5. Que si una línea recta corta a otras dos rectas formando con ellas ángulos interiores del mismo lado menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, prolongadas indefinidamente, se cortan del lado por el cual los ángulos son menores que dos ángulos rectos.

Nociones comunes

• 1. Cosas que son iguales a la misma cosa son iguales entre sí.

• 2. Si iguales se suman a iguales, los resultados son iguales.

• 3. Si iguales se restan de iguales, los restos son iguales.

• 4. Cosas que coinciden una con otra son iguales entre sí.

• 5. El todo es mayor que la parte.

Los dos primeros postulados son abstracciones derivadas de nuestra experiencia con una regla.

El tercer postulado se obtiene de nuestra experimentación con un compás.

El cuarto postulado es tal vez menos obvio y más abstracto, pero se deduce de nuestra experiencia midiendo ángulos con un transportador (donde la suma de ángulos suplementarios es 180, tal que ángulos suplementarios son congruentes entre sí).

La noción cuarta se refiere a la "superposición'' de figuras y es geométrica en su carácter; por eso debería Euclides haberla colocado más bien como un postulado.

Los Elementos condensó el desarrollo lógico de la matemática de la época y tuvo que pasar más de 2 000 años para que se realizara una formulación más cuidadosa.

Para que se tenga una idea, el Libro I contiene los teoremas sobre congruencia de triángulos, construcciones elementales con regla y compás, desigualdades relativas de ángulos y lados en un triángulo, rectas paralelas, paralelogramos y demostraciones del teorema de Pitágoras y su recíproco.

El quinto postulado

El quinto postulado ha sido el controversial.

Es diferente de los otros porque no se puede verificar empíricamente si dos rectas se cortan, ya que solo podemos trazar segmentos y no las rectas completas.

Podemos extender los segmentos cada vez más lejos para ver si se cortan en algún punto, pero no se pueden extender infinitamente.

Con ese postulado, Euclides ofreció una formulación de este asunto fundamental que es el paralelismo.

Tiempo después se demostraría que este quinto postulado, tal y como lo planteó Euclides, es equivalente a afirmar que por un punto externo a una recta dada solo pasa una paralela.

Buscando paralelas