5.1 RIEMANN

Las geometrías no euclidianas no serían plenamente integradas a las principales líneas del desarrollo de las matemáticas hasta el trabajo realizado por el alemán Georg Bernhard Riemann (1826-1866). Riemann fue el hijo de un pastor luterano, aunque nació enfermizo poseía una inteligencia precoz. Fue estudiante de Gauss en la Universidad de Göttingen y luego logró ser profesor de esa prestigiosa institución alemana.

Georg Bernhard Riemann
(1826-1866)

Riemann contribuyó directamente a la generación de nuevas geometrías de una forma muy amplia.Una recta esférica es un círculo grande. No posee principio ni fin. Es ilimitada, pero no es infinita.

Sobre la esfera.

No hay paralelas

Al igual que Gauss, Bolyai y Lobachevsky asumió un postulado contrario al quinto de Euclides. Pero en lugar de asumir que existe un número infinito de rectas paralelas que pasan por un punto exterior a una recta dada, asumió que no pasaba ninguna. Para Riemann, estaba en mayor acuerdo con la realidad el que no existiera ninguna recta paralela. Es decir, si se extendieran las rectas tarde o temprano se cortarían.

Esta era la hipótesis del ángulo obtuso de Saccheri.

Pero Riemann no se quedó ahí. Saccheri había combinado este axioma (dos rectas se cortan) con los otros 9 euclídeos, mientras Riemann propuso un cambio adicional. Si era válido dudar del quinto postulado ¿por qué no era posible dudar de los otros?. Eso hizo con relación al segundo postulado.

Recordemos que en la geometría euclidiana:

"Es posible extender un segmento de recta a una recta''.

Es decir, de un segmento podemos obtener un recta infinita. Riemann pensó que lo que realmente podemos garantizar no es una recta infinita, sino más bien que el proceso de extender un segmento no posee fin. Hizo una distinción muy sutil entre entre longitud infinita y longitud ilimitada o inacabable. Por ejemplo: uno puede recorrer un círculo ilimitadamente pero el círculo posee una longitud finita. De esta manera, Riemann enfatizó una dimensión especial del concepto de recta; éstas aquí no son longitudes infinitas sino ilimitadas.

Armado con la reformulación de estos dos nuevos postulados creó una nueva geometría no euclidiana.

Como usaba postulados euclidianos, al igual que con las otras geometrías no euclidianas, obtenía resultados euclidianos; como, por ejemplo, el criterio de congruencia de triángulos

Por supuesto, también resultados no euclidianos, por ejemplo:

• La suma de los ángulos de un triángulo es siempre mayor de 180 grados.

• Esta suma, además, varía de acuerdo al tamaño del triángulo. Conforme hacemos el triángulo de menor área, la suma se hace más pequeña, cercana a 0 cuando el área tiende a 0.

  
  

Otro resultado:

• Dos triángulos semejantes son congruentes.

Esto sucede también en la geometría de Lovachevsky.

Este es el tipo de geometría con el que nos familiarizaremos en el siguiente capítulo, a través de una representación de la misma.

La geometría diferencial

Riemann hizo más que crear una nueva geometría: colocó a las geometrías no euclidianas en un marco teórico más general. Ya no se trataba de que se cumpliera el postulado de las paralelas o no, Riemann preconizaba un cambio de visión total sobre la geometría. Para Riemann la geometría ya no debía ser sobre puntos o las rectas del espacio como solemos conocerlo, la geometría debía tratar de lo que se llama variedades. Vamos a ver algunos aspectos de esta historia.

Gauss había realizado mucho trabajo en la construcción de mapas y la llamada geodesia. Y de aquí se engendraría un nuevo enfoque sobre el sentido del espacio.

El asunto tiene que ver con el Cálculo Diferencial e Integral, creado por Newton y Leibniz en el siglo XVIII. El concepto clave es el de "geometría diferencial'' (término llamado así por primera vez por Luigi Bianchi, 1856-1928, en 1894).

Este tema se podría definir como el estudio de las propiedades de las curvas y superficies que varían de un punto a otro. Cuando se da este tipo de variación (de punto en punto) se utiliza las técnicas del Cálculo. Se trataba de una temática que nacía del desarrollo del Cálculo pero que tenía importantes implicaciones en la geometría misma.

Para que se tenga una idea: el cálculo de rectas normales o tangentes, puntos de inflexión (de cambio de concavidad), curvaturas, serían los asuntos de la geometría diferencial en un plano.

Los mismos asuntos se pueden estudiar en el espacio de tres dimensiones.

Todos estos asuntos tenían una importancia vital en física, mecánica y en la confección de mapas.

Por ejemplo, consideremos el problema de representar en un plano (una hoja) la esfera; lo cual sería parecido a poner en un mapa el planeta Tierra.

Era claro desde antes del siglo XVIII que esto no se podía hacer preservando las propiedades geométricas de la esfera en el plano (de la Tierra en el mapa). Pero sí hay algunas propiedades geometricas que sí se preservan en esta representación en el plano. Por ejemplo, los ángulos.

En efecto, el interés se volcó durante muchos años hacia las representaciones que permitían preservar los ángulos de las curvas consideradas. J. H. Lambert, Euler, Lagrange y muchos otros matemáticos del siglo XVIII buscaron avanzar en estos temas tan apreciados para la cartografía.

De la esfera al plano.

La superficie como espacio

En 1827, Gauss escribió su formidable artículo sobre la geometría diferencial en las superficies: Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas (Investigaciones generales sobre superficies curvas). Aquí dio Gauss una nueva idea que sería usada por Riemann: una superficie se podía ver como un espacio en sí mismo.

En 1854, Riemann dio una conferencia en Göttingen para optar a la categoría de Privatdozent (profesor). Gauss, quien le había dado a Riemann como tema de estudio los fundamentos de la geometría, estuvo presente. El trabajo sin embargo no fue publicado sino hasta 1868 y fue intitulado Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Acerca de las hipótesis que están en los fundamentos de la geometría).

en el espacio de tres dimensiones

La geometría euclidiana es empírica

Riemann al igual que Gauss asoció geometría con mecánica, pero fue más lejos que Gauss. Riemann trató de demostrar que los axiomas específicos de Euclides eran empíricos y no autoevidentes y necesarios en sí mismos al margen de la experiencia.

Su estrategia fue buscar qué era lo realmente a priori en la geometría del espacio y estudiar sus consecuencias. Cualesquiera otras propiedades del espacio no eran a priori y entonces serían de naturaleza empírica. Es decir, ver lo realmente necesario y autoevidente, y una vez resuelto esto hacer ver que lo que quedaba fuera solo podía ser empírico.

Por pedazos

En su investigación Riemann concluyó que para estudiar el espacio debía hacerse localmente y no como un todo. Es decir, se debía analizar el espacio por pedazos. No se podía dar resultados aplicables para todo el espacio. Esto era precisamente lo que hacía la llamada geometría diferencial al estudiar las propiedades de las curvas y superficies en el espacio.

Usando bastantes resultados de Gauss en la geometría de las superficies en un espacio euclidiano, Riemann generalizó este tipo de resultados.

Una variedad diferencial era precisamente uno de esos pedazos a estudio. Habló entonces de una geometría de dimensiones (aunque el caso de mayor interés era el de tres dimensiones).

Una variedad está compuesta por puntos con coordenadas. ; en 3 dimensiones los puntos son de la forma .

El conjunto de puntos forma una variedad.

Las variedades eran el concepto más general y éstas poseían un conjunto de propiedades aplicables a cualquier variedad. Este conjunto era las propiedades necesarias y autoevidentes que Riemann andaba buscando.

Espacio físico como ejemplo de variedad

Riemann demuestra que el espacio físico es un caso específico de variedad y, entonces, concluye que la geometría del espacio no puede ser deducida del conjunto de propiedades generales de las variedades.

William Clifford
(1845-1879)

Para Riemann estas propiedades que distinguen el espacio físico de otras variedades de tres dimensiones deben ser obtenidas por medio de la experiencia. Puesto de otra forma: la experiencia es la que debe decidir si las propiedades específicas que sintetiza la geometría euclidiana corresponden a la realidad o no.

Los axiomas de la geometría euclidiana pueden corresponder o no con la realidad que nos rodea. Descubrir eso, decía Riemann, no es un asunto para la geometría sino para la física.

Una nueva visión del espacio

Esto planteaba una visión del espacio muy diferente de la que incluso hoy en día nos resulta natural. El matemático inglés William K. Clifford afirmaba las siguientes propiedades del espacio físico que probablemente coincidirían con las de Riemann:

• El espacio es una superficie en promedio plana pero donde existen unas pequeñas porciones que son como pequeñas colinas.

• Esta propiedad de ser curvo o distorsionado se pasa de una porción del espacio a otra como hace una onda.

• La variación de la curvatura del espacio es lo que pasa en el movimiento de la materia.

• En este mundo físico esta variación es lo único que se da, además de la ley de la continuidad.

La conclusión que se obtiene frente a un espacio que cumpla lo anterior es muy importante. Se trata de un espacio donde la curvatura varía de lugar en lugar y, debido al movimiento de la materia, la curvatura cambia también de tiempo en tiempo. Es decir: hay variación debida al espacio y al tiempo. Es imposible que las leyes de la geometría euclidiana se puedan aplicar en un espacio así concebido.

Entonces, la conclusión es muy fuerte: la geometría euclidiana no es la geometría del espacio que nos rodea.

Esto es un resultado maravilloso. Estudiar el espacio debe hacerse tomando en cuenta estas colinas y honduras.

La asociación entre espacio y materia, que señalamos en Clifford y Riemann, condujo en la dirección de la teoría de la relatividad.

La Botella de Klein es una superficie que posee una sola cara. Extraño ¿no es cierto?