1.7 LAS GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS

Podemos establecer una periodización de la historia de las matemáticas distinta a la que ofrecimos al comenzar este capítulo, con una óptica un poco diferente, más bien filosófica.

Otra periodización

Podemos considerar la historia de las matemáticas dividida en dos grandes fases: antes del siglo XIX y sus resultados matemáticos, y después de estos resultados. El asunto que establece la división es la naturaleza de las matemáticas o, mejor dicho, la opinión y conciencia sobre la naturaleza de las matemáticas que la comunidad matemática desarrolló.

Hasta el siglo XIX, con la emersión de las geometrías no euclidianas, álgebras y números abstractos no conmutativos, siempre, de alguna u otra forma, se asumió las matemáticas como una descripción directa de la realidad física del mundo que nos rodea. La tesis de que los números representan cosas, corazón de la visión pitagórica de la Antigüedad, se filtró en la conciencia occidental, en el Renacimiento, la Revolución Científica y en el período posterior para afirmar una relación vinculante y de dependencia entre las matemáticas y la realidad.

Las cosas cambiaron en la conciencia de la comunidad matemática ante la evidencia de teorías que no parecían responder a la evidencia física y a una relación con la realidad y el mundo que nos rodea; se empezó a desarrollar la idea y la opinión de que las matemáticas no necesariamente se refieren de manera directa al mundo, y que las teorías y conceptos de las matemáticas tienen validez en sí mismos y medidos por parámetros establecidos por la comunidad matemática, y que suelen ser la validez lógica y el rigor conceptual.

Mientras en el siglo XVIII las matemáticas eran vistas probablemente como una continuación de la física, de la mecánica y la cinemática, capaces de predecir eventos de la realidad, en el siglo XIX hay visiones que establecen con toda claridad una distancia de las matemáticas con relación al mundo.

La autonomía de las matemáticas

La autonomía e independencia de las matemáticas conforman, entonces, un elemento diferente que arranca con toda propiedad en el siglo XIX, aunque algunos científicos y matemáticos anteriormente habían expresado ideas en ese mismo sentido.

Las matemáticas como campos alejados de la aplicación física y de la descripción de la naturaleza permitía la creación de especialistas de las matemáticas puras: un profesional bastante diferente al que en siglos anteriores podía "representar'' al matemático.

Si ponemos las cosas en esta perspectiva histórica, la relevancia que ocupa la geometría no euclidiana es extraordinaria. Hasta el siglo XIX, 23 siglos después de la obra de Euclides que estableció la mayor sistematización de la geometría antigüa, se realizó un cambio de visión sobre las matemáticas; y este cambio de visión radical fue producto en especial de las geometrías no euclidianas, que rompían la organización axiomática clásica y afirmaban, con plena validez matemática, teorías en contradicción con la geometría euclidiana.

El impacto era enorme, pues la geometría euclidiana describía supuestamente el mundo o las percepciones que sobre el mismo se tenían. ¿Cómo era posible una geometría que no hiciera lo mismo y fuera también válida?, ¿no se trataría, entonces, solamente de quitar, añadir o modificar uno de los axiomas o postulados de la geometría euclidiana? Era evidentemente algo mucho más profundo que eso: era cambiar la visión sobre las matemáticas y su relación con el mundo que predominó durante tanto tiempo.

Debe decirse, sin embargo, que no solo la geometría no euclidiana contribuía a una percepción diferente de la relación entre las matemáticas y el mundo; el álgebra abstracta alteró la "normalidad'' de la artimética tradicional, y esto tuvo un gran impacto. De hecho, el influjo de abstracción que supone la naturaleza misma del álgebra impregnó crecientemente todos los campos de las matemáticas (unos más que otros), y una actitud consistente de abstracción y generalización de objetos y métodos, una "separación'' de las matemáticas del mundo.

Las geometrías no euclideanas constituyen una de los grandes revoluciones en el pensamiento, con implicaciones extraordinarias en la historia de las matemáticas y de la ciencia. Y esto es lo que nos interesa reseñar en las siguientes páginas de este libro