En los pasados capítulos hemos hecho un recorrido breve alrededor de la historia de la geometría no euclidiana. No hemos intentado visualizar ningún modelo físico de ellas. En este capítulo es esto último lo que pretendemos, aunque siempre de una manera muy introductoria y si si quiere informal. Nos interesa aquí, entonces, hacer una representación física de lo que puede ser una geometría no euclidiana, para que en particular se aprecie bien la utilidad de las mismas.
Una de las representaciones más interesantes y atractivas es la que se puede lograr por medio de una esfera. Para que usted se ubique en el tema, considere una bola de fútbol o un globo terráqueo y trate de trazar una longitud entre los polos con una cinta métrica. Trace también una longitud entre dos puntos que no están en los polos:
¿Cuántas trayectorias podría usar usted en el caso del globo y cuántas en el de la bola?
6.2 SEMEJANZAS Y DIFERENCIAS
Como hemos visto, varios postulados constituyen la base de la geometría sistematizada por Euclides. Los postulados suelen plantearse como verdades autoevidentes, es decir que su verdad nos parece más o menos obvia.
Otra característica de los postulados es que éstos no pueden ser deducidos de otros postulados. Es decir: los postulados son evidentes en sí mismos y además elementos primarios (base de todos los demás resultados).
La pirámide axiomática
El quinto postulado
El postulado euclidiano más famoso y controversial, como estudiamos antes, fue el quinto. Recordemos su enunciado:
Dadas dos rectas en un plano y una tercera recta que las corta: si la suma de los ángulos interiores de un lado es menor que dos ángulos rectos, entonces las rectas, si se extienden suficientemente, se cortarán en el lado en el cual la suma de los ángulos es menor que dos ángulos rectos.
El quinto postulado de Euclides
Observe bien nuestro dibujo. Note que si usted extiende las rectas hacia la derecha rápidamente se cortarían en el lado derecho de la página. Usted, sin embargo, podría preguntar ¿qué pasaría si cambiamos las rectas y éstas se cortan en un punto que estuviera fuera de esta hoja?
Casi paralelas
Bueno, la respuesta es fácil: use una hoja más grande.
Pero, usted insiste ¿qué pasaría si los ángulos internos a la derecha suman digamos 179, 99999 grados, es decir rectas casi paralelas? ¿dónde se cortan las rectas? Sin duda tendría que conseguir un papel muchísimo más grande.
¿Y si seguimos poniendo 9's a 179, 99999 grados...? Aquí hay un problema. ¿Cuál? ¿ Cómo lo describiría usted?
Este postulado, como usted ya sabe, se suele llamar como Postulado de las Paralelas por el equivalente postulado dado por el matemático y físico escocés John Playfair (1748-1819):
Por un punto dado externo a una recta dada solo puede pasar a lo sumo una recta paralela a la recta dada.
Un punto exterior a una recta 
Postulado de las paralelas
Dos tipos de geometría
Como sabemos, la negación lógica del quinto postulado nos da dos proposiciones diferentes
1. Dado un punto exterior a una recta dada, pasan más de una recta paralela a la recta dada.
Varias paralelas
2. Dado un punto exterior a una recta dada, no pasa ninguna recta paralela a la recta dada.
Ninguna paralela
Cada una de estas suposiciones dio origen a geometrías distintas.
En la geometría esférica
Dos círculos grandes distintos (la rectas esféricas) 
y 
siempre poseen dos puntos de intersección. Haga un dibujo para representar esta situación.
Ahora considere una recta (esférica), es decir un círculo grande 
y un punto externo 
.
Por lo anterior, cualquier recta 
que pase por 
interseca a 
en dos puntos.
La conclusión es:
Dados una recta 
y un punto 
fuera de ella, no existe una recta 
paralela a 
que pase por 
.
Angulos de un triángulo
La suma de los tres ángulos de un triángulo esférico es mayor que 180 grados. También: esa suma varía dependiendo del área del triángulo.
La realidad es que conforme se hace más pequeño el área del triángulo, la suma de sus ángulos aunque mayor que 180 grados se acerca cada vez más a los 180 grados.
Veamos un ejemplo gráfico de cómo sucede:
Por la construcción usted puede ver que los ángulos en 
y 
son rectos y, entonces, la suma de los tres ángulos es mayor que 180 grados.
Dados 
y 
pueden pasar un círculo grande que los contuviera o, en el caso de ser 
y 
opuestos, muchos círculos grandes. La conclusión es que dados dos puntos 
y 
existe por lo menos una recta (esférica) 
que los contiene.
6.3 PREGUNTAS
Conteste las siguientes preguntas.
¿Explique con sus palabras qué es la geometría que en este libro hemos llamado esférica?
En un cilindro ¿cuánto suman los ángulos de un triángulo?
¿Cuáles son las rectas de la geometría esférica?
¿Es un arco la distancia más corta entre dos puntos en la geometría esférica? Explique su respuesta por escrito.
Mencione un ejemplo de aplicación de la geometría esférica.
De dos características de los postulados en geometría.
Diga si la proposición es falsa o verdadera. Justifique su respuesta. Puede usar un diagrama para mostrar su punto de vista.
En la geometría esférica, dos rectas distintas se intersecan en dos puntos.
En la geometría euclidiana, dados dos puntos existe por lo menos una recta que los contenga.
La suma de los ángulos de un triángulo esférico es mayor de 180 grados.
Dos rectas esféricas se intersecan en 2 puntos.
Dados una recta esférica
y un punto 
, existe solo una recta perpendicular a 
que pasa por 
.
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