Integrales
a) Hallar la primitiva de las siguientes funciones derivadas:
1) f ´(x) = 1 para f( 0) = 5
2) f ´(x) = 2.x para f(-1) = 3
3) f ´(x) = 2.x + 1 para f( 1) = 3
4) f ´(x) = 3.x2 + 2.x - 1 para f(-2) = 5
Respuesta:
1) f(x) = x + 5
2) f(x) = x2 + 2
3) f(x) = x2 + x + 1
4) f(x) = x3 + x2 + x + 7
b) Resolver las siguientes integrales directas:
Respuestas:
Respuestas:
http://soko.com.ar/matem/matematica/derivada_ej.htm
Derivadas directas:
Respuestas:
Multiplicación: f ’(u.v) = u’.v + u.v’
Respuestas:
División: 
Respuesta:
Función de función: (regla en cadena) : f ’(u(x)) = u’. (x)’
Respuestas:
Derivadas
Autora: Silvia Sokolovsky
Recordando el concepto de pendiente de una recta, podemos indicar que la derivada no es otra cosa que "la pendiente de la recta tangente que corta a una función en un punto determinado".
Cada punto de una función tiene su recta tangente siempre y cuando ese punto se verifiquen los postulados de continuidad.
¿Cómo calcular la pendiente en ese punto? Primeramente aclaremos que si bien una función puede ser continua en el punto que se analiza no implica que el punto sea derivable. Un punto debe tener solamente una sola pendiente para considerarlo derivable.
Tomemos dos puntos cualesquiera de una función; ambos poseen coordenadas, que en este caso llamaremos (x1 , f(x1)) y (x2 , f(x2)). A medida que x2 va tomando valores cada vez más cercanos a x1, lo mismo ocurre con f(x2) que se va acercando a f(x1). El proceso acerca a la recta, que pasa por ambos puntos, a la posición de la recta tangente (corta en un solo punto). El proceso de acercamiento se estudia en base a límites y permite encontrar la pendiente de la recta tangente en un punto determinado.
La "separación" que hay entre las coordenadas de x podemos calcularlas "restándolas", o sea, sacando su diferencia. Es así que x2 – x1 = Dx El D (delta) representa la diferencia entre las coordenadas, así que se lo denomina "diferencial", en este caso es el diferencial x. Del mismo modo, la diferencia entre las segundas coordenadas serán llamadas D f(x), diferencial f(x) (o directamente Dy).
Como x2 – x1 = Dx, podemos despejar x2 = x1 + Dx.
Así que f(x2) puede escribirse como: f(x + Dx).
Escribimos la definición de derivada como un límite donde Dx es cada vez más pequeña, tiende a cero.
Definición de derivada: 
La diferencia entre D y d es el tamaño. "d" es muy pequeña y se la denomina diferencial. Para poder entender lo que es un diferencial miren al piso. Lo ven plano, pero sabemos que la superficie de la tierra es curva. ¿Por que el piso se ve plano? La respuesta es sencilla. Estamos viendo un diferencial de área, una parte muy chiquita (la derivada en ese punto) por lo que se ve "recto", "lineal", plano.
Aclaremos que una constante puede ser un número o una letra, es el término que no tiene "x"
| f(x) = k f(x + Dx).= k
| Veamos pues como calculamos la derivada de una función constante utilizando la definición de derivada. Para facilitar las operaciones conviene primero desarrollar f(x) y f(x + Dx) y reemplazarlas en el limite. |
Vemos entonces que la derivada de una constante siempre da cero.
Si f(x) = k, entonces f '(x) = 0
| f(x) = m .x + b f(x + Dx) = m .(x + Dx) + b = m x + m. Dx + b
| Veamos pues como calculamos la derivada de una función lineal utilizando la definición de derivada. Volvemos a desarrollar f(x) y f(x + Dx) para facilitar las cuentas dentro del límite. |
Si f(x) = m .x + b, entonces f '(x) = m (Como b es una constante, su derivada es cero.)
Si m es igual a 1 podemos ver claramente que la derivada de x es "1" f(x) = x, entonces, f '(x) = 1.
| f(x) = x2 f(x + Dx) = (x + Dx)2= x2 + 2xDx + Dx2
| Veamos pues como calculamos la derivada de una función cuadrática utilizando la definición de derivada. Para no complicarnos utilicemos f(x) = x2 Volvemos a desarrollar f(x) y f(x + Dx) para facilitar las cuentas dentro del límite. Factorizamos Dx para poder simplificar. |
Si f(x) = x2, entonces, f '(x) = 2x.
 | Veamos pues como calculamos la derivada de una raíz utilizando la definición de derivada. Para poder resolver la indeterminación del límite debemos racionalizar. (Recordar que hay que cambiar el signo) Por lo que al hacer distributiva nos queda una diferencia de cuadrado (esta operación deberán hacerla ustedes para ver que las raíces quedan con signos contrarios y pueden cancelarse) |
Si 
Autora: Silvia Sokolovsky
Imagínate que sufres una pesadilla (por tanto estudiar ma
temática) en la que te encuentras cerca de una puerta. Decides abrirla, así que te acercas. Te das cuenta que estas cada vez más cerca, pero no alcanzas a tocar el picaporte. Corres tratando de llegar, mas, siempre hay espacio entre tu mano y ese picaporte, no importa cuanto lo intentes. Esa "pesadilla" tiene nombre matemático "límite".
Desde el punto de vista del conjunto de los números reales, que es denso (infinito e infinitésimo), podemos encontrar entre dos números consecutivos infinitos números: tomemos dos números, por ejemplo, 4 y 5, busquemos un número real entre ellos, podemos tomar 4,5 que está entre 4 y 5
4 .... 4,5 ..... 5
Ahora busquemos un número entre 4 y 4,5
(podemos tomar 4,3 que está entre 4 y 4,5)
4 ...... 4,3 ..... 4,5
Ahora busquemos un número entre 4 y 4,3
(podemos tomar 4,1 que está entre 4 y 4,3)
4 ....... 4,1 ...... 4,3
Ahora busquemos un número entre 4 y 4,1
(podemos tomar 4,08 que está entre 4 y 4,1)
4 ...... 4,08 .... 4,1
Ahora busquemos un número entre 4 y 4,08
(podemos tomar 4,001 que está entre 4 y 4,08)
4 ..... 4,001 .... 4,08
Podemos seguir así eternamente. Siempre nos podremos acercar al número "4" todo lo que queramos sin llegar a él. Justamente "4" es el límite que no podemos tocar. Como nos acercamos desde valores mayores a 4, se dice que nos "acercamos por la derecha".
Si nos acercáramos con valores más pequeños, nos "acercaríamos por la izquierda".
El concepto de límite está íntimamente ligado al concepto de función. Cada uno de los números que se acerca a 4 pueden obtenerse de una ecuación (lineal por ejemplo) como y = 4 + x. Donde al darle valores a x obtenemos "esos" números que se acercan a 4 por derecha e izquierda. Evidentemente, de acuerdo al tipo de ecuación que tengamos, serán los valores de x a tomar en cuenta.
En este caso no nos interesa cuando x = 0, ya que no queremos que "la cuenta" de 4 (que es nuestro límite).
| ¬ Por izquierda Por derecha ® |
|
El valor de x se acerca a "cero" y el valor de "y" (la imagen de la función) se acerca a 4. Para hablar con propiedad, en matemática no se dice "se acerca a" sino "tiende a"; x tiende a cero cuando y tiende a cuatro. Es real, a los que hacemos matemática no nos gusta escribir mucho. Se reemplaza las palabras con símbolos para ahorrar tiempo (el esfuerzo mental se reserva para el problema matemático). Así que en vez de escribir "tiende a" se pone una flecha. De manera que "x tiende a cero" se indica "x ® 0" e "y tiende a cuatro" se escribe como "y ® 4".
Ya estamos un poco más cerca de poder leer "matemáticamente". El límite (lím) suele escribirse indicando debajo de él el valor a que tiende x, seguido de la ecuación que se analiza y (después del igual) se indica el valor del límite.
No siempre los límites laterales (izquierda y derecha) son iguales. Analicemos la siguiente función.
Para hallar el límite de esta función (paramétrica) debemos separar la parte de la ecuación que se utiliza para valores menores o iguales que "1", (x + 3), de la parte que se utiliza con los valores mayores a "1", (x – 1).
Nuevamente (para escribir menos) indicamos con el signo "+" (colocado como super índice en el lado derecho del número a que tiende x) cuando analizamos una función desde la derecha. Para Calcular el límite, sencillamente reemplazamos "x" por el número a que tiende:
Indicamos con el signo"–" (colocado como super índice en el lado derecho del número a que tiende x) cuando analizamos una función desde la izquierda. Para Calcular el límite, sencillamente reemplazamos "x" por el número a que tiende:
Los límites laterales (izquierda y derecha) no son iguales, entonces, la función no tiene límite en x = 1.
Probemos con otra función y analicemos los límites laterales; si ellos dan lo mismo, el límite de la función es ese valor.
Los límites tienen muchas aplicaciones, una de ellas se ejemplifica en las funciones Homográficas cuya ecuación canónica puede escribirse como:
De las que tenemos que tenemos la definición de asíntotas (horizontal, vertical y oblicua) cuya explicación se encuentra en dichas funciones.
Cuando el límite (de x tendiendo a un valor que depende de la función, por eso la llamamos "a") por izquierda y por derecha tiende a infinito; característica que define a la asíntota vertical.
Cuando el límite (de x tendiendo a infinito por izquierda "– ¥" y por derecha "+ ¥") tiende a un valor que depende de la función, por eso la llamamos "b"; característica que define a la asíntota horizontal.
Si a = 0 y b = 0, podemos reducir a los conocidos 
(ver desarrollo en función homográfica)
Otra aplicación de límites podemos hallarlas en las ecuaciones 
exponenciales de tipo 
Es de destacar que el intervalo [–1, 0] no pertenece al dominio de la función (queda en ustedes averiguar por qué).
A medida que x se hace más grande, tiende a infinito positivo (x ® + ¥) la imagen "se acerca a un valor" 2,718281828 ... (número irracional) que se lo denomina e. De igual manera, si tomamos valores de x cada vez más chiquitos, tiende a infinito negativo (x ® - ¥) la imagen también "se acerca al mismo valor" e.
Otra aplicación similar podemos hallarla en las funciones cuya ecuación exponencial es del tipo f (x) = (1 + x)1/x. 
Nuevamente el dominio está restringido, en este caso, a valores mayores a – 1. Si hacemos que x tienda a cero, por izquierda y por derecha, el valor del límite (las imágenes que obtenemos al resolver la ecuación con cada valor de x elegido) también dará como resultado e.
http://soko.com.ar/matem/matematica/vectores.htm
Autora: Silvia Sokolovsky
Los vectores son magnitudes representadas por un segmento dirigido (flecha). Se caracterizan por poseer: 
a) Una longitud, la que es representada por un valor numérico al que llamaremos módulo (también se la denomina norma)
b) Una dirección, que es la recta a la que pertenece
c) Un sentido. La recta posee dos sentidos, generalmente estos se indican mediante signos "+" para un lado y "-" para el otro.
Los vectores pueden situarse el plano, o sea dos dimensiones, en el espacio, desde tres hasta infinitas dimensiones.
Veamos los vectores en el plano, las mismas propiedades pueden ser aplicadas en todas las otras dimensiones. Es así que podemos escribir su origen y su extremo como puntos (x, y). La ubicación de estos puntos le dará el sentido al vector. Si el origen del vector es, por ejemplo, A = (1, 1) y el extremo B = (4, 5), el vector será AB (de A hasta B)
. 
Resulta interesante destacar que las coordenadas de estos puntos determinan un triángulo rectángulo, de manera que su módulo puede calcularse aplicando el teorema de Pitágoras. De manera que la longitud de cada cateto coincide con el valor que debería tener el vector si su origen fuera el centro de coordenadas.
Es así que al hacer: (4 - 1; 5 - 1) = (3; 4) vemos que la resta de las componentes horizontales y verticales nos determinan al vector.
(vector) $ = B - A = (4, 5) - (1, 1) = (4 - 1; 5 - 1) = (3; 4)
Generalicemos:
Sea A = (a, b) y B = (c, d); el vector AB ($ ) lo calcularemos haciendo la diferencia de B - A = (c - a, d - b)
Para calcular la longitud del vector (módulo) aplicamos Pitágoras:.
De aquí en adelante el origen de los vectores será siempre el origen de coordenadas, por lo tanto se designará a un vector sólo con el punto que determina su extremo.
Sea A un vector de n dimensiones, A = {a1, a2, a3, . . . an} llamamos módulo, norma o simplemente longitud del vector al valor numérico (escalar) determinado por:
Resta de Vectores:
Restar dos vectores geométricamente implica "trazar" un tercer vector desde el extremo del primero hasta el extremo del segundo. Aritméticamente restamos las componentes verticales y horizontales entre sí.
A = (7, 2)
B = (5, 4)
A - B = (7, 2) - (5, 4) = (7 - 5, 2 - 4) = (2, - 2)
Suma de Vectores
Si tenemos dos vectores podemos sumarlos y hallar un tercero (llamado en física: resultante). Hay autores que indican que una magnitud es vectorial si se los puede sumar mediante en método del paralelogramo.
Método del paralelogramo: es un método geométrico en el cual trazamos dos segmentos paralelos a la dirección de cada vector, por los extremos de los mismos. Uniendo la intersección de los vectores y de los segmentos paralelos (puntos en color) obtendremos el vector suma.
Analíticamente, se suman las componentes.
A = (0, 5)
B = (5, 4)
A + B = (0,5) + (5,4) = (0 + 5, 5 + 4) = (5, 9)
Propiedades:
A + B = C (al sumar dos vectores se obtiene otro vector - ley de composición interna)
a. A = a (x1 , x2) = (a x1 , a x2) (para a Î R) [el producto de un vector y un escalar da otro vector]
(- 1) . A = - A (opuesto) A- 1 = 1 / A (inverso)
A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)
A + B = B + A (propiedad conmutativa)
a . (A + B) = a . A + a . B (para a Î R) (propiedad distributiva)
A (a + b) = A . a + A . b (para a Î R, b Î R)
A + 0 = 0 + A = A [0 representa el vector nulo (0, 0) que es neutro en suma]
A + (- A) = 0
1 . A = A (1 es neutro en producto)
0 . A = 0 (0 es absorvente en el producto)
Los vectores que se encuentren en el plano pertenecerán a R2 y se llamarán "pares"; mientras los que se ubiquen en el espacio de tres dimensiones pertenecerán a R3 (llamándose ternas), si hay cuatro dimensiones pertenecerán a R4, así sucesivamente.
Vectores linealmente dependientes
Al multiplicar un vector por un escalar obtenemos otro vector que pertenece a la misma recta de acción (igual dirección) pero cambia su módulo y (dependiendo del signo del número) puede cambiar el sentido. Este vector es linealmente dependiente del primero.
a. A = a (x1 , x2) = (a x1 , a x2)
Si a = 3 y A = (2, - 5) Þ 3. (2, - 5) = (3. 2, 3. (-5)) = (6, - 15)
Tenemos dos vectores U = (2, 4) = 2 (1, 2) y V = (1, 2) que pueden sumarse dando como resultado el vector nulo, son linealmente dependientes.
a (2, 4) + b (1, 2) = (0, 0)
si a = 1 y b = - 2 Þ
Þ 1(2, 4) + (- 2) (1, 2) = (2, 4) + (- 2, - 4) = (2 - 2, 4 - 4) = (0, 0)
Generalicemos:
Dos vectores U y V son linealmente dependientes cuando los escalares a, b para los cuales se cumple: a. U + b. V = 0 no son nulos (no valen cero).
Vectores linealmente independientes
La definición es evidente, si el valor de a y b, para que la suma de un vector nulo, únicamente puede ser cero, entonces, los vectores son linealmente independientes.
a. U + b. V = 0 ® si a = 0 y b = 0 (única opción) el sistema es linealmente independiente
® si a ¹ 0 y b ¹ 0 el sistema es linealmente dependiente
Combinación lineal: Base de vectores
La expresión " a. U + b. V" se llama combinación lineal de U, V.
Al ser U y V linealmente independientes pueden, al sumarse, generar cualquier vector del plano (llamémosle W). Así que U y V constituyen una base de los vectores del plano si todo vector W del plano se puede expresar de manera única como combinación lineal de U y V:
a. U + b. V = W
Evidentemente dos vectores linealmente dependientes no podrán constituir nunca una base, ya que sólo darán, en su suma, vectores colineales a ellos.
Demos un ejemplo:
1) si a = 2 y b = - 1 para:
a (2, 4) + b (1, 2) Þ 2 (2, 4) + (- 1) (1, 2) = (2. 2 - 1. 1 , 2. 4 - 1. 2) = (3, 6)
(2, 4) = 2 (1, 2) (linealmente dependientes)
(3, 6) = 3 (1, 2) (son colineales)
Así que {(2, 4), (1, 2)}no pueden formar una base.
2) si a = 2 y b = - 1 para:
a (2, 0) + b (1, 2) Þ 2 (2, 0) + (- 1)(1, 2) = (2. 2 - 1. 2, 2. 0 - 1. 2) = (2, - 2)
Así que {(2, 0), (1, 2)}pueden formar una base. (verifica la independencia lineal de los vectores tú mismo/a)
Ángulo entre dos vectores
Los vectores pertenecen a una recta que determina su dirección. Estas rectas, a su vez, dividen al plano en dos; cada una de "esas partes" constituye un semiplano. Si tenemos dos vectores que no son colineales, cada una de las rectas determina un semiplano (uno por cada recta); la intersección de ambos semiplanos determina el ángulo que se encuentra entre ambos. El valor del ángulo está acotado entre los valores 0º y 180º (p). Si el ángulo es de 90º (p/2) los vectores son perpendiculares u ortogonales. Si poseemos dos vectores, no nulos, ortogonales, tenemos una base ortogonal. El hecho de ser ortogonales implica que son linealmente independientes.
Producto escalar (o interno)
Dado dos vectores A y B llamaremos producto escalar de A y B al número real determinado por:
A . B = A . B . cos a
Siendo a el ángulo entre ambos vectores.
Si tenemos dos vectores A = {a1, a2, . . ., an} y B = {b1, b2, . . ., bn} el producto escalar entre ambos puede hallarse mediante la sumatoria del producto de cada una de sus coordenadas.
A . B = a1b1+ a2 b2 + . . . + an bn
Propiedades
A . B = B . A
A . (B + C) = A . B + A . C
(a . A) . B = A . (a. B) (para a Î R)
A . A > 0 (para A ¹ 0)
A . B < A . B (desigualdad de Cauchy - Schwarz)
Si A ¹ 0, B ¹0 y a = 90º Þ A . B = 0 (El producto escalar de vectores ortogonales es nulo ya que el cos 90º = 0.)
Aplicaciones en física: Trabajo Mecánico
¿Como se determina el valor del ángulo entre dos vectores?
(A - B)2 = C2 A2 - 2. A . B + B2 = C2 A2 - 2. A . B cos a + B2 = C2
| ¡¡Ojo!!, trabajamos con los módulos de los vectores Se aplica el cuadrado de un binomio se aplica producto escalar despejamos el "cos" del ángulo "arccos" es en tu calculadora : "shift cos" o "2nd cos" depende del tipo de calculadora. |
Producto vectorial
Dado dos vectores A y B llamaremos producto vectorial de A = {a1, a2, a3} y B = {b1, b2, b3} al vector determinado por: A x B = (a2b3 - a3 b2 , a3b1 - a1 b3 , a1 b2 - a2b1)
En este caso son vectores de R3 pero es aplicable a vectores de cualquier dimensión. El vector resultante será perpendicular al plano en el que se encuentran A y B..
Propiedades
A x B = - (A x B)
A x (B + C) = A x B + A x C
(a . A) x B = A x (a. B) (para a Î R)
A x B es perpendicular a A y a B
(A x B) x C = A x (B x C)
(A x B)2 = (A . A) . (B . B) - (A . B)2
A x B = A . B . sen a
Aplicaciones en matemática:
Área : el producto vectorial se utiliza para calcular el área del paralelogramo determinado por los vectores
Ejemplo: (2, 5) x (3, 2) = 2 . 2 - 5 . 3 = 4 - 15 = - 11 = 11.
Aplicaciones en física: Campo magnético (en proceso de armado, se las debo . . .)
Versor (vector unitario)
El versor o vector unitario es un vector cuyo módulo es 1.
Una base ortogonal de los vectores del plano es una vector ortogonales unitarios. i es el versor de dirección horizontal (eje x) mientras que j es de dirección vertical (eje y). El vector k representa la tercera dimensión (eje z).
Así si R = (2, 3, 5) puede escribirse como
R = 2 i + 3 j + 5 k.
Este tipo de notación es muy utilizada en física.
