Derivadas

Derivadas

Autora: Silvia Sokolovsky

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Recordando el concepto de pendiente de una recta, podemos indicar que la derivada no es otra cosa que "la pendiente de la recta tangente que corta a una función en un punto determinado".

Cada punto de una función tiene su recta tangente siempre y cuando ese punto se verifiquen los postulados de continuidad.

¿Cómo calcular la pendiente en ese punto? Primeramente aclaremos que si bien una función puede ser continua en el punto que se analiza no implica que el punto sea derivable. Un punto debe tener solamente una sola pendiente para considerarlo derivable.

Tomemos dos puntos cualesquiera de una función; ambos poseen coordenadas, que en este caso llamaremos (x₁ , f_(x1)) y (x₂ , f_(x2)). A medida que x₂ va tomando valores cada vez más cercanos a x₁, lo mismo ocurre con f_(x2) que se va acercando a f_(x1). El proceso acerca a la recta, que pasa por ambos puntos, a la posición de la recta tangente (corta en un solo punto). El proceso de acercamiento se estudia en base a límites y permite encontrar la pendiente de la recta tangente en un punto determinado.

La "separación" que hay entre las coordenadas de x podemos calcularlas "restándolas", o sea, sacando su diferencia. Es así que x₂ – x₁ = Dx El D (delta) representa la diferencia entre las coordenadas, así que se lo denomina "diferencial", en este caso es el diferencial x. Del mismo modo, la diferencia entre las segundas coordenadas serán llamadas D f_(x), diferencial f_(x) (o directamente Dy).

Como x₂ – x₁ = Dx, podemos despejar x₂ = x₁ + Dx.

Así que f_(x2) puede escribirse como: f_{(x + Dx)}.

Escribimos la definición de derivada como un límite donde Dx es cada vez más pequeña, tiende a cero.

Definición de derivada:

La diferencia entre D y d es el tamaño. "d" es muy pequeña y se la denomina diferencial. Para poder entender lo que es un diferencial miren al piso. Lo ven plano, pero sabemos que la superficie de la tierra es curva. ¿Por que el piso se ve plano? La respuesta es sencilla. Estamos viendo un diferencial de área, una parte muy chiquita (la derivada en ese punto) por lo que se ve "recto", "lineal", plano.

Derivada por definición

Derivada de una constante:

Aclaremos que una constante puede ser un número o una letra, es el término que no tiene "x"

f(x) = k f(x + Dx).= k

Veamos pues como calculamos la derivada de una función constante utilizando la definición de derivada. Para facilitar las operaciones conviene primero desarrollar f(x) y f(x + Dx) y reemplazarlas en el limite.

Vemos entonces que la derivada de una constante siempre da cero.

Si f_(x) = k, entonces f '_(x) = 0

Derivada de una recta

f(x) = m .x + b f(x + Dx) = m .(x + Dx) + b = m x + m. Dx + b

Veamos pues como calculamos la derivada de una función lineal utilizando la definición de derivada. Volvemos a desarrollar f(x) y f(x + Dx) para facilitar las cuentas dentro del límite.

Si f_(x) = m .x + b, entonces f '_(x) = m (Como b es una constante, su derivada es cero.)

Si m es igual a 1 podemos ver claramente que la derivada de x es "1" f_(x) = x, entonces, f '_(x) = 1.

Derivada de una Parábola

f(x) = x2 f(x + Dx) = (x + Dx)2= x2 + 2xDx + Dx2

Veamos pues como calculamos la derivada de una función cuadrática utilizando la definición de derivada. Para no complicarnos utilicemos f(x) = x2 Volvemos a desarrollar f(x) y f(x + Dx) para facilitar las cuentas dentro del límite. Factorizamos Dx para poder simplificar.

Si f_(x) = x², entonces, f '_(x) = 2x.

Derivada de una Raiz

Veamos pues como calculamos la derivada de una raíz utilizando la definición de derivada. Para poder resolver la indeterminación del límite debemos racionalizar. (Recordar que hay que cambiar el signo) Por lo que al hacer distributiva nos queda una diferencia de cuadrado (esta operación deberán hacerla ustedes para ver que las raíces quedan con signos contrarios y pueden cancelarse)

Si