No siempre los modelos científicos son una fiel imagen de la realidad. Los átomos y las moléculas que componen el aire que respiramos, por ejemplo, se pueden describir en términos de un modelo en el que imaginamos cada partícula como si fuera una pequeña esfera perfectamente elástica, con todas las pequeñas esferas rebotando unas contra otras y contra las paredes del recipiente que las contiene.
Esa es la imagen mental, pero es sólo la mitad del modelo; lo que lo hace modelo científico es describir el modo como se mueven las esferas y rebotan unas contra otras mediante un grupo de leyes físicas, escritas en términos de ecuaciones matemáticas. En este caso, éstas son esencialmente las leyes del movimiento descubiertas por Newton hace más de trescientos años. Utilizando estas leyes matemáticas es posible predecir, por ejemplo, que le pasará a la presión ejercida por un gas si se aplasta hasta la mitad de su volumen inicial. Si hacemos el experimento, y, el resultado que se obtiene encaja con la predicción del modelo, este será un buen modelo.
De hecho, todos los modelos científicos tienen aplicabilidad limitada. Ninguno de ellos es “la verdad “. Cuando un científico afirma, por ejemplo, que el núcleo de un átomo está compuesto por partículas denominadas protones y neutrones, lo que en realidad debería decir es que el núcleo de un átomo se comporta, bajo determinadas circunstancias, como si estuviera formado de protones y neutrones. Los mejores científicos toman el “como sí “, pero entienden que sus modelos son, efectivamente, sólo modelos; científicos menores a menudo olvidan esta diferencia crucial.
Los científicos menores, y muchos no-científicos, tienen otra idea equivocada. A menudo piensan que el papel de los científicos hoy en día es llevar a cabo experimentos que probarán la exactitud de sus modelos con una precisión cada vez mayor (hacia posiciones con más y más decimales). ¡En absoluto! La razón para llevar a cabo experimentos que demuestren predicciones previas no comprobadas es descubrir dónde fallan los modelos. Encontrar defectos en sus modelos es la esperanza abrigada por los mejores científicos, porque esos defectos destacarán los lugares donde necesitamos una nueva comprensión, con modelos mejores, para progresar.
El arquetípico ejemplo de esto es la gravedad. La ley de la gravedad de Isaac Newton se consideró la pieza clave de la física durante más de doscientos años, desde la década de 1680 hasta comienzos del siglo XX. Pero había unas pocas, aparentemente insignificantes, cosas que el modelo newtoniano no podía explicar o predecir, referente a la órbita del planeta mercurio y al modo como la luz se curva cuando pasa cerca del Sol. El modelo de gravedad de Albert Einstein, basado en su teoría general explica lo mismo que el modelo de Newton pero también explica esos detalles sutiles de órbitas planetarias y curvatura de la luz. En ese sentido, es un modelo mejor que el anterior, y hace predicciones correctas (en particular, sobre el Universo en general) que el viejo modelo no hace. Pero el modelo de Newton todavía es todo lo que se necesita si se está calculando el vuelo de una sonda espacial desde
Las geometrías no euclidianas engendran modelos compatibles con el mundo real; es decir pueden servir para describir la realidad que nos rodea.
Con relación a eso el modelo de la esfera para la geometría riemanniana es muy evidente.
Con claridad vemos que las longitudes en nuestro planeta están sobre geodésicas que poseen curvatura.
Es más exacto pensar en términos de curvas que de rectas.
De hecho, otro ejemplo, los peritos topógrafos necesitan usar reglas geométricas diferentes a las euclidianas para realizar sus mediciones de terrenos que no son planos ni rectos.
El concepto de recta euclídea es una abstracción más que una realidad.
La pregunta que surge es ¿por qué en la historia de la humanidad surgió primero una geometría como la euclidiana y no, por ejemplo, una esférica?
La respuesta está en que los griegos antiguos escogieron una cuerda estirada o el borde una regla como la línea recta física y con esa escogencia establecieron los axiomas euclídeos, base de toda su geometría.
Esta escogencia pareciera lo natural para seres vivientes que se mueven en superficies pequeñas.
Por ejemplo, no podemos apreciar la curvatura de las longitudes del planeta Tierra tan fácilmente.
De hecho, su carácter cuasiesférico tomó mucho tiempo para ser descubierto.
Si bien en los griegos antiguos se llegó a afirmar la redondez de la Tierra (probablemente, por la perfección atribuida a lo circular) e, incluso, que ésta giraba alrededor de un gran fuego central, durante siglos la visión dominante era que la Tierra era plana.
Una longitud terrestre es siempre una curva.
Para distancias físicas pequeñas la geometría euclidiana sirve.
Newton elaboró sus leyes con base en la geometría euclidiana (y con los conceptos de espacio y tiempo absolutos e independientes).
Pero en el espacio esto ya no es así. Geometrías no euclidianas son las que sirven para explicar fenómenos estelares.
Los rayos de luz se toman como las líneas rectas de la geometría espacial. Pero los rayos de luz se distorsionan (se ``curvan'') por la acción gravitatoria de las masas planetarias.
El Sol, la Tierra, la Luna, Júpiter y otros astros distorsionan los rayos de luz.
La masa planetaria distorsiona los rayos de luz
Pero volvamos a la historia de la geometría. Una vez escogida la línea recta, todas las otras figuras geométricas se vieron condicionadas por esa escogencia. Entonces pasó lo que ya sabemos: una escogencia de lo que podemos llamar un paradigma (un modelo de ideas sobre la realidad) realizada socialmente, y con influencia de las limitaciones y ca-racterísticas de nuestra especie, definió una evolución cultural durante más de 2000 años
La historia de la geometría no euclidiana deja muchas lecciones.
Lo primero que las geometrías no euclidianas logran es cuestionar el estatus de la geometría euclidiana como u-na descripción de las propiedades geométricas del mundo que nos rodea. O, lo que es igual, establece nuevas teorías para e-sa descripción. En la génesis de la matemática, como en todas las ciencias, participan entonces las condiciones materiales, circunstancias sociales, y procesos de pensamiento.
Durante todo el siglo XIX fueron muy pocos los matemáticos que pensaron que estas teorías eran aplicables a la realidad. Las vieron mayoritariamente como curiosidades lógicas, o derivables de la euclidiana de una u otra ma-nera.
Las matemáticas no son colecciones de verdades sobre la realidad. Al igual que en todas la ciencias, las teorías de las matemáticas son descripciones aproximadas de nues-tro mundo.
Las teorías se usan de acuerdo a su utilidad y capacidad para describir y explicar procesos de nuestro mundo. Si no sirven o no son adecuadas a esos propósitos otras teorías las sustituirán.
Las teorías matemáticas son contruidas por individuos de carne y hueso en grupos y culturas humanas precisas. Estas trasmiten sus limitaciones, sus prejuicios, opiniones y capacidades, y condicionan las características y el destino de las teorías. Las comunidades matemáticas deciden sus criterios para aceptar la validez de sus teorías. Esos criterios son también históricos y sociales. Por eso a veces son unos y a veces otros.
A veces las comunidades se equivocan.
Las geometrías no euclidianas demostraron que no hay teorías definitivas, absolutas, verdaderas para siempre, y que, entonces, la mejor actitud en el conocimiento (y en la vida) es la de respeto, apertura y flexibilidad para aceptar nuevas ideas o teorías.
Conteste las siguientes preguntas.
¿Por qué la gente pensaba que la Tierra es plana?
¿Qué es un paradigma?
¿Son las matemáticas colecciones de verdades absolutas? Explique.
¿Qué le sucede a los rayos de luz en el espacio cuando pasan cerca de planetas?
Diga si la proposición es falsa o verdadera. Justifique su respuesta.
Newton mejoró el modelo de la física de Einstein.
Las geometrías no euclidianas son mejores que la geo-me-tría euclidiana.
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"Las teorías matemáticas son contruidas por individuos de carne y hueso en grupos y culturas humanas precisas. Estas trasmiten sus limitaciones, sus prejuicios, opiniones y capacidades, y condicionan las características y el destino de las teorías. Las comunidades mate-má-ti-cas deciden sus criterios para aceptar la validez de sus teorías. Esos criterios son también históricos y sociales. Por eso a veces son unos y a veces otros. A veces las comunidades se equivocan.''
 | Ángel Ruiz Zúñiga es un matemático, filósofo y educador nacido en San José, Costa Rica. Su vida profesional ha estado asociada a varios temas: educación matemática, historia y filosofía de las matemáticas, filosofía política y desarrollo social, sociología e historia de las ciencias y la tecnología, problemas de la educación superior, y asuntos de la paz mundial y el progreso humano. |
Autor de numerosos libros y artículos académicos, expositor y conferencista en más de un centenar de congresos internacionales, y organizador constante de eventos científicos internacionales y nacionales, ha sido, también, consultor y asesor en asuntos científicos, académicos, universitarios y políticos durante muchos años dentro y fuera de Costa Rica.
Como hemos visto, en la geometría esférica no pasa una paralela por un punto exterior a una recta. Esta geometría sobre la superficie de una esfera constituye lo que llamamos un modelo o una representación de algo que se llama la geometría doble elíptica, planteada por el gran matemático alemán Bernhard Riemann en el siglo XIX.
Antes vimos que si no se asume el quinto postulado de Euclides es posible asumir dos postulados contrarios. Ya vimos uno de ellos.
Si asumimos el otro posible criterio, es decir si por un punto exterior a una recta dada pasan más de una recta paralela, estaremos en lo que se llama geometría hiperbólica.
Como precisamos antes, fueron los grandes matemáticos Gauss, Lobachevsky y János Bolyai quienes construyeron este tipo de geometría.
Para conseguir un modelo (un ejemplo) de geometría hiperbólica las cosas no son tan fáciles. La primera aproximación que vamos a hacer es a través de una silla de montar .
Esta geometría se puede representar como si el plano fuera una silla de montar a caballo. Recuerde la forma de ese tipo de sillas. Consideremos en este plano una recta 
y un punto 
fuera de ella.
Usted puede fácilmente observar que existe más de una paralela que pasa por 
.
En el dibujo anterior vea cómo dados la recta 
y el punto 
, existen rectas 
y 
que pasan por 
y son paralelas a 
.
Ahora vamos a ver otra representación de la geometría hiperbólica. Le vamos a llamar el modelo de Beltrami-Klein porque fue planteado por los matemáticos Eugenio Beltrami (italiano) y Felix Klein (alemán).
Dibujemos un círculo 
en el plano euclidiano normal.
Llamemos 
al centro del círculo.
Si 
es un punto en la circunferencia entonces 
es el radio.
Vea la figura siguiente:
Interior del círculo
Como usted sabe muy bien, el interior de 
consiste de todos los puntos 
tales que 
Ahora sí, aquí está la definición:
Los puntos del interior del círculo representan los puntos del nuevo plano hiperbólico.
Note que los puntos de la circunferencia no son parte de este plano hiperbólico.
Sigamos:
Una cuerda es un segmento que conecta dos puntos A y B que están en la circunferencia.
Este segmento sin los puntos terminales se llama cuerda abierta.
Se denota 
. Vea la figura:
y 
son cuerdas abiertas
Entonces:
Una recta en este modelo es una cuerda abierta.
Es decir: las cuerdas abiertas son las rectas de este plano.
El punto 
está en 
quiere decir que 
está en la recta euclídea 
y que 
está entre 
y 
.
Llegamos a un punto clave. Consideremos el punto 
y la recta 
.
Podemos trazar dos rectas paralelas 
y 
que pasan por 
y ambas son paralelas a la cuerda abierta 
.
La figura siguiente evidencia nuestra anterior afirmación:
Bueno, usted se habrá preguntado ¿cuál es la definición de paralelismo para que las cosas funcionen así?
Aquí la definición de dos rectas paralelas es que no posean un punto en común.
Es decir: dos cuerdas abiertas son paralelas si no poseen puntos en común.
Note que no importa que al extender 
y 
éstas corten a la extensión de 
.
El plano hiperbólico no sigue fuera del círculo 
.
Otro modelo de geometría hiperbólica es lo que se suele llamar el disco de Poincaré, en honor a un matemático francés de finales del siglo XIX y principios del siglo XX (de hecho, Poincaré creó dos modelos de geometría hiperbólica). Es parecido al anterior de Beltrami-Klein.
Se toma, también, como plano al conjunto de los puntos del interior de un círculo 
.
Sin embargo las rectas se definen de manera diferente.
En primer lugar:
todos los diámetros son rectas.
Los diámetros son rectas
Otras rectas se definen de la siguiente manera:
Dado el círculo 
constrúyase un círculo 
que sea ortogonal a 
.
Es decir que en sus puntos de intersección, sus respectivos radios sean perpendiculares. Esto lo podemos visualizar así:
Círculos que se cortan ortogonalmente
El arco del círculo 
que está dentro del interior de 
representa una recta del plano de Poincaré.
Debe recordar siempre que el plano hiperbólico no incluye los puntos en la circunferencia de 
.
Entonces:
Los diámetros de 
y estos arcos así construidos son las rectas del plano de Poincaré.
Un detalle: las longitudes se distorsionan cerca de la frontera (circunferencia) para hacerla inalcanzable.
Para que se tenga una idea mayor, veamos como se encontraría un ángulo:
El ángulo se mide a partir de las rectas tangentes (euclidianas) a las curvas en el punto de intersección.
Ahora usted puede darse cuenta que existe un número infinito de rectas paralelas a una recta 
y que pasan por un punto externo 
.
En la figura siguiente construimos 2 rectas paralelas a 
(que no poseen puntos en común con 
) y que pasan por 
.
Vamos a representar un cuadrilátero en este modelo:
Note que uno de los vértices es el centro del disco. Si lo ampliamos nos queda así:
Observe que este cuadrilátero posee 3 ángulos rectos y uno agudo. Este tipo de cuadriláteros fue planteado por el matemático suizo Lambert en el siglo XVIII. Como ha podido notar, al cambiar algunas reglas del juego geométrico, toda la geometría común se trastoca. Es un nuevo juego aunque participen algunas características similares.
Para ofrecer una pincelada del otro modelo de Poincaré, vamos a mencionar lo básico: Este plano hiperbólico viene representado por los puntos de uno de los semiplanos determinados por una recta euclídea fija. Considere la figura siguiente, en la cual tomamos el semiplano determinado por el eje 
:
Las rectas se repreentan por 2 formas:
a) como rayos que emanan de puntos sobre el eje 
y perpendiculares al eje
;
b) como semicírculos en la aprte superior del semiplano cuyo centro descansa sobre el eje 
.
Las nociones de "estar entre'' e "incidencia'' son las euclídeas.
Un comentario final: los tres últimos modelos no son tan diferentes; en realidad se puede establecer una correspondencia unívoca (es decir, uno a uno) entre los puntos y rectas de un modelo y los correspondientes de otro, de tal manera que se preserve la "incidencia'', la relación "estar entre'' y la "congruencia''.
Conteste las siguientes preguntas.
Enuncie el postulado contrario al de las paralelas que sirve de base para la geometría hiperbólica.
Mencione el nombre de los tres creadores de la geometría hiperbólica.
Si tomamos el plano como una silla montar ¿cuántas rectas paralelas a una recta dada 
pasan por 
, un punto externo a 
?
¿Cuáles son las rectas del modelo de Beltrami-Klein?
Explique por escrito qué son dos rectas paralelas en el modelo de Beltrami-Klein.
En el disco de Poincaré, ¿dónde están sus puntos?
En este disco de Poincaré, ¿cuántos tipos de rectas existen?. Explique.
Diga si la proposición es falsa o verdadera. Justifique su respuesta. Puede usar un diagrama para mostrar su punto de vista.
En una silla de montar, la suma de los ángulos de un triángulo es de 180 grados.
En el modelo de Beltrami-Klein, se puede trazar un segmento que una dos puntos de la circunferencia.
Las rectas del disco de Klein son las cuerdas.
En el modelo de Poincaré, los diámetros son rectas.
Por un punto exterior a una recta dada, en el modelo de Poincaré no pasan rectas paralelas.
