Geometrías no euclidianas por Ángel Ruiz Zúñiga

Las geometrías no euclidianas engendran modelos compatibles con el mundo real; es decir pueden servir para describir la realidad que nos rodea.

Con relación a eso el modelo de la esfera para la geometría riemanniana es muy evidente.

Con claridad vemos que las longitudes en nuestro planeta están sobre geodésicas que poseen curvatura.

Es más exacto pensar en términos de curvas que de rectas.

De hecho, otro ejemplo, los peritos topógrafos necesitan usar reglas geométricas diferentes a las euclidianas para realizar sus mediciones de terrenos que no son planos ni rectos.

El concepto de recta euclídea es una abstracción más que una realidad.

La pregunta que surge es ¿por qué en la historia de la humanidad surgió primero una geometría como la euclidiana y no, por ejemplo, una esférica?

8.1 LA CUERDA ESTIRADA

La respuesta está en que los griegos antiguos escogieron una cuerda estirada o el borde una regla como la línea recta física y con esa escogencia establecieron los axiomas euclídeos, base de toda su geometría.

Esta escogencia pareciera lo natural para seres vivientes que se mueven en superficies pequeñas.

Por ejemplo, no podemos apreciar la curvatura de las longitudes del planeta Tierra tan fácilmente.

De hecho, su carácter cuasiesférico tomó mucho tiempo para ser descubierto.

Si bien en los griegos antiguos se llegó a afirmar la redondez de la Tierra (probablemente, por la perfección atribuida a lo circular) e, incluso, que ésta giraba alrededor de un gran fuego central, durante siglos la visión dominante era que la Tierra era plana.

Una longitud terrestre es siempre una curva.

Newton y Einstein

Para distancias físicas pequeñas la geometría euclidiana sirve.

Newton elaboró sus leyes con base en la geometría euclidiana (y con los conceptos de espacio y tiempo absolutos e independientes).

Pero en el espacio esto ya no es así. Geometrías no euclidianas son las que sirven para explicar fenómenos estelares.

Los rayos de luz se toman como las líneas rectas de la geometría espacial. Pero los rayos de luz se distorsionan (se ``curvan'') por la acción gravitatoria de las masas planetarias.

El Sol, la Tierra, la Luna, Júpiter y otros astros distorsionan los rayos de luz.

La masa planetaria distorsiona los rayos de luz

Un paradigma Ángel Ruiz Zúñiga

Pero volvamos a la historia de la geometría. Una vez escogida la línea recta, todas las otras figuras geométricas se vieron condicionadas por esa escogencia. Entonces pasó lo que ya sabemos: una escogencia de lo que podemos llamar un paradigma (un modelo de ideas sobre la realidad) realizada socialmente, y con influencia de las limitaciones y ca-racterísticas de nuestra especie, definió una evolución cultural durante más de 2000 años

8.2 LECCIONES ÚTILES

La historia de la geometría no euclidiana deja muchas lecciones.

• Lo primero que las geometrías no euclidianas logran es cuestionar el estatus de la geometría euclidiana como u-na descripción de las propiedades geométricas del mundo que nos rodea. O, lo que es igual, establece nuevas teorías para e-sa descripción. En la génesis de la matemática, como en todas las ciencias, participan entonces las condiciones materiales, circunstancias sociales, y procesos de pensamiento.

• Durante todo el siglo XIX fueron muy pocos los matemáticos que pensaron que estas teorías eran aplicables a la realidad. Las vieron mayoritariamente como curiosidades lógicas, o derivables de la euclidiana de una u otra ma-nera.

• Las matemáticas no son colecciones de verdades sobre la realidad. Al igual que en todas la ciencias, las teorías de las matemáticas son descripciones aproximadas de nues-tro mundo.

• Las teorías se usan de acuerdo a su utilidad y capacidad para describir y explicar procesos de nuestro mundo. Si no sirven o no son adecuadas a esos propósitos otras teorías las sustituirán.

• Las teorías matemáticas son contruidas por individuos de carne y hueso en grupos y culturas humanas precisas. Estas trasmiten sus limitaciones, sus prejuicios, opiniones y capacidades, y condicionan las características y el destino de las teorías. Las comunidades matemáticas deciden sus criterios para aceptar la validez de sus teorías. Esos criterios son también históricos y sociales. Por eso a veces son unos y a veces otros.

A veces las comunidades se equivocan.

• Las geometrías no euclidianas demostraron que no hay teorías definitivas, absolutas, verdaderas para siempre, y que, entonces, la mejor actitud en el conocimiento (y en la vida) es la de respeto, apertura y flexibilidad para aceptar nuevas ideas o teorías.

  8.3 PREGUNTAS

  Conteste las siguientes preguntas.

  1. ¿Por qué la gente pensaba que la Tierra es plana?

  2. ¿Qué es un paradigma?

  3. ¿Son las matemáticas colecciones de verdades absolutas? Explique.

  4. ¿Qué le sucede a los rayos de luz en el espacio cuando pasan cerca de planetas?

     Diga si la proposición es falsa o verdadera. Justifique su respuesta.

  5. Newton mejoró el modelo de la física de Einstein.

  6. Las geometrías no euclidianas son mejores que la geo-me-tría euclidiana.

  7. Comente

  "Las teorías matemáticas son contruidas por individuos de carne y hueso en grupos y culturas humanas precisas. Estas trasmiten sus limitaciones, sus prejuicios, opiniones y capacidades, y condicionan las características y el destino de las teorías. Las comunidades mate-má-ti-cas deciden sus criterios para aceptar la validez de sus teorías. Esos criterios son también históricos y sociales. Por eso a veces son unos y a veces otros. A veces las comunidades se equivocan.''

  

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  Ángel Ruiz Zúñiga es un matemático, filósofo y educador nacido en San José, Costa Rica. Su vida profesional ha estado asociada a varios temas: educación matemática, historia y filosofía de las matemáticas, filosofía política y desarrollo social, sociología e historia de las ciencias y la tecnología, problemas de la educación superior, y asuntos de la paz mundial y el progreso humano.

  Autor de numerosos libros y artículos académicos, expositor y conferencista en más de un centenar de congresos internacionales, y organizador constante de eventos científicos internacionales y nacionales, ha sido, también, consultor y asesor en asuntos científicos, académicos, universitarios y políticos durante muchos años dentro y fuera de Costa Rica.

• http://www.cimm.ucr.ac.cr/aruiz/curriculum.php