jueves, 17 de septiembre de 2009

Capitulo 7



Como hemos visto, en la geometría esférica no pasa una paralela por un punto exterior a una recta. Esta geometría sobre la superficie de una esfera constituye lo que llamamos un modelo o una representación de algo que se llama la geometría doble elíptica, planteada por el gran matemático alemán Bernhard Riemann en el siglo XIX.

Antes vimos que si no se asume el quinto postulado de Euclides es posible asumir dos postulados contrarios. Ya vimos uno de ellos.

Si asumimos el otro posible criterio, es decir si por un punto exterior a una recta dada pasan más de una recta paralela, estaremos en lo que se llama geometría hiperbólica.

Como precisamos antes, fueron los grandes matemáticos Gauss, Lobachevsky y János Bolyai quienes construyeron este tipo de geometría.

Para conseguir un modelo (un ejemplo) de geometría hiperbólica las cosas no son tan fáciles. La primera aproximación que vamos a hacer es a través de una silla de montar .

7.1 EN UNA SILLA DE MONTAR

Esta geometría se puede representar como si el plano fuera una silla de montar a caballo. Recuerde la forma de ese tipo de sillas. Consideremos en este plano una recta $l$ y un punto $P$ fuera de ella.


Cap_07__3.jpg
Usted puede fácilmente observar que existe más de una paralela que pasa por $P$.
Cap_07__5.jpg

En el dibujo anterior vea cómo dados la recta $l$ y el punto $P$, existen rectas $a$ y $b$ que pasan por $P$ y son paralelas a $l$.

7.2 DENTRO DE UN DISCO

Ahora vamos a ver otra representación de la geometría hiperbólica. Le vamos a llamar el modelo de Beltrami-Klein porque fue planteado por los matemáticos Eugenio Beltrami (italiano) y Felix Klein (alemán).

  • Dibujemos un círculo $c$ en el plano euclidiano normal.

  • Llamemos $O$ al centro del círculo.

  • Si $R$ es un punto en la circunferencia entonces $\overline{OR}$ es el radio.

Vea la figura siguiente:


Cap_07__16.jpgInterior del círculo

Como usted sabe muy bien, el interior de $c$ consiste de todos los puntos $Y$ tales que $OY\lneqq OR.$

Ahora sí, aquí está la definición:

Los puntos del interior del círculo representan los puntos del nuevo plano hiperbólico.

Note que los puntos de la circunferencia no son parte de este plano hiperbólico.
Cap_07__20.jpg

Sigamos:

Una cuerda es un segmento que conecta dos puntos A y B que están en la circunferencia.
Cap_07__21.jpg

Este segmento sin los puntos terminales se llama cuerda abierta.

Se denota $A)(B$. Vea la figura:


Cap_07__25.jpg$\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ son cuerdas abiertas

Entonces:

Una recta en este modelo es una cuerda abierta.

Es decir: las cuerdas abiertas son las rectas de este plano.

El punto $P$ está en $A)(B$ quiere decir que $P$ está en la recta euclídea MATH y que $P$ está entre $A$ y $B$.

Llegamos a un punto clave. Consideremos el punto $P$ y la recta $l$.


Cap_07__35.jpg

Podemos trazar dos rectas paralelas $l_{1}$ y $l_{2}$ que pasan por $P$ y ambas son paralelas a la cuerda abierta $l$.

La figura siguiente evidencia nuestra anterior afirmación:


Cap_07__40.jpg

Bueno, usted se habrá preguntado ¿cuál es la definición de paralelismo para que las cosas funcionen así?

Aquí la definición de dos rectas paralelas es que no posean un punto en común.

Es decir: dos cuerdas abiertas son paralelas si no poseen puntos en común.


Cap_07__41.jpg

Note que no importa que al extender $l_{1}$ y $l_{2}$ éstas corten a la extensión de $l$.

El plano hiperbólico no sigue fuera del círculo $c$.


Cap_07__46.jpg

7.3 OTRO MODELO

Otro modelo de geometría hiperbólica es lo que se suele llamar el disco de Poincaré, en honor a un matemático francés de finales del siglo XIX y principios del siglo XX (de hecho, Poincaré creó dos modelos de geometría hiperbólica). Es parecido al anterior de Beltrami-Klein.

Se toma, también, como plano al conjunto de los puntos del interior de un círculo $c$.

Sin embargo las rectas se definen de manera diferente.

En primer lugar:

todos los diámetros son rectas.

Cap_07__48.jpgLos diámetros son rectas

Otras rectas se definen de la siguiente manera:

Dado el círculo $c$ constrúyase un círculo $d$ que sea ortogonal a $c$.

Es decir que en sus puntos de intersección, sus respectivos radios sean perpendiculares. Esto lo podemos visualizar así:


Cap_07__52.jpgCírculos que se cortan ortogonalmente

El arco del círculo $d$ que está dentro del interior de $c$ representa una recta del plano de Poincaré.

Debe recordar siempre que el plano hiperbólico no incluye los puntos en la circunferencia de $c$.

Entonces:

Los diámetros de $c$ y estos arcos así construidos son las rectas del plano de Poincaré.


Cap_07__57.jpg

Un detalle: las longitudes se distorsionan cerca de la frontera (circunferencia) para hacerla inalcanzable.

Para que se tenga una idea mayor, veamos como se encontraría un ángulo:


Cap_07__58.jpg

El ángulo se mide a partir de las rectas tangentes (euclidianas) a las curvas en el punto de intersección.

Cap_07__59.jpgRectas tangentes a un círculo
Cap_07__61.jpgRectas tangentes a una función $f$

Ahora usted puede darse cuenta que existe un número infinito de rectas paralelas a una recta $l$ y que pasan por un punto externo $P$.

En la figura siguiente construimos 2 rectas paralelas a $l$ (que no poseen puntos en común con $l$) y que pasan por $P$.


Cap_07__67.jpg

Vamos a representar un cuadrilátero en este modelo:


Cap_07__68.jpg

Note que uno de los vértices es el centro del disco. Si lo ampliamos nos queda así:


Cap_07__69.jpg

Observe que este cuadrilátero posee 3 ángulos rectos y uno agudo. Este tipo de cuadriláteros fue planteado por el matemático suizo Lambert en el siglo XVIII. Como ha podido notar, al cambiar algunas reglas del juego geométrico, toda la geometría común se trastoca. Es un nuevo juego aunque participen algunas características similares.

7.4 EL OTRO MODELO DE POINCARÉ

Para ofrecer una pincelada del otro modelo de Poincaré, vamos a mencionar lo básico: Este plano hiperbólico viene representado por los puntos de uno de los semiplanos determinados por una recta euclídea fija. Considere la figura siguiente, en la cual tomamos el semiplano determinado por el eje $x$:


Cap_07__71.jpg

Las rectas se repreentan por 2 formas:

a) como rayos que emanan de puntos sobre el eje $x$ y perpendiculares al eje$x$;

b) como semicírculos en la aprte superior del semiplano cuyo centro descansa sobre el eje $x$.

Las nociones de "estar entre'' e "incidencia'' son las euclídeas.

Un comentario final: los tres últimos modelos no son tan diferentes; en realidad se puede establecer una correspondencia unívoca (es decir, uno a uno) entre los puntos y rectas de un modelo y los correspondientes de otro, de tal manera que se preserve la "incidencia'', la relación "estar entre'' y la "congruencia''.

7.5 PREGUNTAS

Conteste las siguientes preguntas.

  1. Enuncie el postulado contrario al de las paralelas que sirve de base para la geometría hiperbólica.

  2. Mencione el nombre de los tres creadores de la geometría hiperbólica.

  3. Si tomamos el plano como una silla montar ¿cuántas rectas paralelas a una recta dada $l$ pasan por $P$, un punto externo a $l$?

  4. ¿Cuáles son las rectas del modelo de Beltrami-Klein?

  5. Explique por escrito qué son dos rectas paralelas en el modelo de Beltrami-Klein.

  6. En el disco de Poincaré, ¿dónde están sus puntos?

  7. En este disco de Poincaré, ¿cuántos tipos de rectas existen?. Explique.

    Diga si la proposición es falsa o verdadera. Justifique su respuesta. Puede usar un diagrama para mostrar su punto de vista.

  8. En una silla de montar, la suma de los ángulos de un triángulo es de 180 grados.

  9. En el modelo de Beltrami-Klein, se puede trazar un segmento que una dos puntos de la circunferencia.

  10. Las rectas del disco de Klein son las cuerdas.

  11. En el modelo de Poincaré, los diámetros son rectas.

  12. Por un punto exterior a una recta dada, en el modelo de Poincaré no pasan rectas paralelas.

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