5.2 DE RIEMANN A KLEIN

Después de la muerte de Riemann en 1868, varios matemáticos siguieron estas líneas de trabajo ampliando los resultados: Eugenio Beltrami (1835-1900), Elwin Brunno Christoffel (1829-1900) y Rudolph Lipschitz (1832-1903).

Eugenio Beltrami (1835-1889)

Curvatura

El segundo concepto más importante usado por Riemann en 1854 fue el de curvatura de una variedad. A través de este concepto Riemann trató de caracterizar el espacio euclidiano y, de manera más general, los espacios en los cuales las figuras pueden ser movidas sin que cambien en forma y magnitud. El concepto de curvatura que usó Riemann era una generalizacion de un concepto similar usado por Gauss para las superficies.

Las geometrías no euclidianas que más interés suscitaron después de Riemann fueron las de curvatura constante. Este concepto no lo vamos a definir aquí, pero sí a señalar su trascendencia. El mismo Riemann había sugerido en 1854 que un espacio de curvatura constante positiva en dos dimensiones se podía realizar en la superficie de una esfera, en la cual las geodésicas se tomaran como las rectas.

Este tipo de geometría se llama una geometría doble elíptica. (A veces se conoce simplemente por elíptica).

Entonces: la geometría esférica que luego veremos con cierto detalle es un modelo de geometría no euclidiana que se llama doble elíptica.

La geometría de Gauss, Lobachevsky y Bolyai fue llamada por el alemán Felix Klein como geometría hiperbólica.

La pseudoesfera

En 1868, Beltrami acabó con el asunto de la prueba del quinto postulado: probó que una prueba no era posible. Probó esto demostrando que la geometría no euclidiana es igualmente consistente que la geometría euclidiana (es decir sin contradicciones lógicas internas).

Para lograr su prueba creó un modelo de estas últimas (para un pedazo de su plano) que se llama la pseudoesfera. Este modelo sale de rotar una curva llamada tractrix alrededor de su asíntota: Y da algo parecido a lo siguiente:

Pseudoesfera de Beltrami

La esfera

El matemático Heinrich Liebmann (1874-1939) probó que la esfera es la única superficie cerrada analítica (sin singularidades) de curvatura positiva constante. Es la única que puede ser usada como un modelo euclidiano para la geometría doble elíptica.

La esfera como modelo de la geometría doble elíptica

El desarrollo de estos modelos ayudó a los matemáticos a darle cierto sentido a las nuevas geometrías. Pero en esa época todavía faltaban otros resultados matemáticos que permitieran comprender con cabalidad las geometrías no euclidianas.

Dentro de la geometría proyectiva

Probablemente el resultado que más influyó en esa dirección fue la conexión que se desarrolló entre la geometría euclidiana y la geometría proyectiva.

Los matemáticos lograron demostrar que la proyectiva era más general; es decir, por ejemplo, que la euclidiana era un caso de la proyectiva.

De igual manera Felix Klein (1849-1925) fue más lejos. Hizo ver que la geometría hiperbólica y la doble elíptica podían englobarse dentro de la geometría proyectiva.

Un esquema de la clasificación de Klein puede ser el siguiente (algunas de las geometrías mencionadas no las vamos a explicar en este libro).

Clasificación de algunas geometrías según Klein

La aplicación de las nuevas geometrías

Aunque Gauss, Bolyai y Lobachevsky creyeron en la aplicabilidad física de sus nuevas geometrías, los matemáticos siguientes no pensaron igual. Incluso Cayley, Klein y Poincaré no visualizaron aplicaciones. Klein, por ejemplo, pensaba que el espacio fundamental era el euclidiano y las otras geometrías eran otras formas de geometría euclidiana con algunas variaciones (con nuevas funciones de distancia). Poincaré a lo único que llegaba es a decir que la geometría euclidiana era la más conveniente. Con la emersión de la teoría de la relatividad por Einstein todas estas valoraciones del papel, importancia y lugar de las geometrías no euclidianas y, por ende, de la euclidiana, tuvieron que cambiar drasticamente.

5.3 PREGUNTAS

Conteste las siguientes preguntas.

1. ¿Quién formuló por primera vez el nombre de "geometría diferencial''?

2. ¿Quién fue el primer matemático que dijo que una superfice se podía ver como un espacio en sí mismo?

3. ¿Hacia qué teoría condujo la asociación que hacían Clifford y Riemann entre espacio y materia?

4. ¿Cómo se llama la geometría desarrollada por Gauss, Lobachevsky y Bolyai?

   En los siguientes ejercicios diga si la proposición es falsa o verdadera. Justifique su respuesta.

5. Para Riemann la geometría euclidiana era empírica.

6. Según la geometría de Riemann es posible estudiar el espacio como un todo.

7. Eugenio Beltrami fue quien definitivamente zanjó la discusión en torno a la validez del quinto postulado de Euclides.

8. La geometría euclidiana es más general que la geometría proyectiva.

9. Para Poincaré la geometría no euclidiana era la más conveniente para describir la realidad.