Como hemos mencionado en el capítulo anterior, el problema se concentró en el quinto postulado. Y su historia es la de los múltiples esfuerzos por descubrir la naturaleza de la geometría y del mundo que nos rodea.
Mucho tiene que ver con las rectas paralelas, como las que usted puede ver en este techo:
3.1 DE EUCLIDES A SACCHERI
Dos fueron los tipos de esfuerzo que desarrollaron los matemáticos entre Euclides y el siglo XIX para abordar el problema del postulado quinto. Por un lado trataron de obtener un postulado similar que fuera más evidente. Por el otro lado, trataron de deducir el quinto postulado de los otros postulados y axiomas.
Ptolomeo
El primer intento fue hecho por el famoso astrónomo Claudio Ptolomeo, quien trató de deducir el quinto postulado de los otros 9 axiomas y postulados así como de los teoremas 1 al 28 de Euclides que no dependen del quinto postulado.
Claudio Ptolomeo (c. 85-165 d. C)
Es decir, trató de obtener otra colección de axiomas y que el quinto se desprendiera de los nuevos.
Sin embargo, Ptolomeo asumió sin darse cuenta que 2 líneas rectas no encierran un espacio y que si 
y 
son paralelas, entonces lo que sea válido para los ángulos internos en un lado de 
debe serlo también en el otro. Vea la figura.
Proclus
Proclus en el siglo V d. C. (410-485 d. C) le restó validez al postulado y además señaló algunas inconsistencias en el trabajo de Ptolomeo. Dijo:
La afirmación que dos rectas convergen más y más conforme son producidas y entonces ellas se encontrarán en algún momento es plausible pero no necesaria.
Para demostrar su punto de vista dijo que la hipérbola se aproxima a su asíntota tan cerca como se quiera, pero nunca se tocan. Es decir: existen figuras geométricas que por más que se acercan no se cortan nunca. ¿Por qué tenían que cortarse las dos rectas en el caso del quinto postulado?
Proclus dio una prueba del quinto postulado pero basado en otro axioma, con lo que simplemente sustituyó un axioma por otro.
La hipérbola
Nasîr-Eddîn
Otra prueba fue dada por el persa Nasîr-Eddîn (1201-1274), editor de Euclides, cuya obra fue reproducida posteriormente por el inglés John Wallis (1616-1703). Wallis que criticó la prueba del persa, también ofreció la suya propia.
Wallis
Wallis escribió sobre esto en 1663 pero publicó su trabajo hasta 1693. Wallis propuso un nuevo axioma que pensó era más plausible que el de las paralelas (por medio de éste y el resto de axiomas probó el quinto postulado).
John Wallis (1616-1703)
El postulado decía:
Dado un triángulo 
y dado un segmento 
, existe un triángulo 
(con 
como uno de sus lados) que es semejante a 
(es decir 
).
La idea intuitiva es que uno puede estirar o encoger un triángulo como uno quiera sin que haya distorsión.
El decía que el axioma de Euclides de que se puede construir un círculo con un centro y radio dados presupone que hay un radio arbitrariamente largo a nuestra disposición, por eso, uno puede igualmente asumir su análogo para figuras rectilíneas como un triángulo.
No hay razón para considerar el postulado de Wallis más plausible que el quinto de Euclides, puesto que resulta ser lógicamente equivalente a éste.
La formulación más conocida: el postulado de las paralelas
Joseph Fenn en 1769 sugirió una sustitución del postulado:
Dos rectas que se cortan no pueden ser paralelas a una tercera recta.
Al parecer este axioma había aparecido en la obra de Proclus.
El axioma dado por Fenn es equivalente al dado por el escocés John Playfair (1748-1 819), que constituye la versión más conocida del quinto postulado:
m y n no pueden ser las dos paralelas a l
A través de un punto exterior a una recta dada solo pasa una recta paralela a la recta dada.
El gran matemático francés Legendre también trabajó durante 40 años alrededor del famoso postulado. Hizo pruebas del mismo, pero siempre se filtraba un axioma que era equivalente o igualmente complejo que el quinto postulado. Por ejemplo, probó que el quinto postulado era equivalente a:
La suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos.
Métodos indirectos
El trabajo de Ptolomeo se puede ver también como un esfuerzo por deducir el quinto postulado de los otros. Este método y otros que se usaron podemos decir que fueron intentos de demostrar directamente que el quinto postulado se derivaba de los otros.
Pero no solo pruebas directas se ofrecieron, también se dieron indirectas. Es decir, se usaba una versión contraria al postulado con el propósito de demostrar que este conjunto nuevo de postulados con la versión contraria conducía a una contradicción.
Tipos de demostración
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