Capítulo 4

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Hemos llegado al momento decisivo en la historia de la geometría no euclidiana.

Después de centenares de años de intentos por demostrar el quinto postulado deducido de los otros postulados o de sustituirlo por otros más sencillos, los geómetras cortaron el nudo gordiano. Construyeron un nuevo marco teórico que revolucionaría (con el tiempo) la percepción de las matemáticas.

Es interesante señalar que la construcción de estos resultados se dio en la primera mitad del siglo XIX, que fue un periodo decisivo en la creación de la sociedad moderna. A finales del siglo anterior se había dado la Revolución Francesa con su cortejo de implicaciones para la historia. Varios cambios en la percepción del mundo se habían provocado.

El nuevo momento establecía también un contexto social y cultural para la aceptación de una nueva manera de ver la geometría y las matemáticas en general.

4.1 GAUSS Y LA NUEVA GEOMETRÍA

Gauss al igual que el ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1793-1856), y el húngaro János Bolyai (1802-1860), crearon independientemente las geometrías no euclidianas. Gauss se adelantó en el tiempo a los otros matemáticos, pero no publicó sus resultados.

Carl Friedrich Gauss nació en 1777 en la ciudad alemana de Brunswick, y se educó en la Universidad de Göttingen. Gauss produjo resultados del más alto nivel en casi todos los campos de las matemáticas puras y aplicadas. Su trabajo le valió el título de "Príncipe de los matemáticos'', y es considerado uno de los más grandes matemáticos de la historia.

Los esfuerzos de Gauss en la geometría no euclidiana empezaron desde 1792, cuando tenía 15 años, cuando le habría dicho a su amigo Schumacher que tenía la idea de una geometría válida sin el quinto postulado euclidiano. No obstante Gauss pasó varios años tratando de deducir el postulado a partir de otros.

En 1799 Gauss le escribió un carta al matemático húngaro Wolfgang Farkas Bolyai (1775-1856) en la que le expresaba su opinión: no se podía deducir el quinto postulado de los otros postulados euclidianos, y empezó a prestarle mucho cuidado a la existencia de geometrías sin ese postulado válidas y también aplicables a la realidad.

A partir de 1813 Gauss trabajó en la nueva geometría que llamó primero anti-euclidiana, luego astral y finalmente no euclidiana. Gauss llegó a la conclusión que no podía probarse que los resultados de la geometría euclidiana fueran autoevidentes y su verdad necesaria, lo que sí sucedía -en su opinión- con la aritmética.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

La geometría es empírica

Para Gauss la aritmética era a priori, es decir su verdad se establece sin recurrencia alguna al mundo que nos rodea. La mecánica, contrariamente, no es a priori y exige la recurrencia a la realidad y sus proposiciones pueden ser modificadas de acuerdo a la experiencia. Gauss llegó a la conclusión que la geometría se parecía más a la mecánica que a la aritmética.

Gauss incluso trató de mostrar la aplicabilidad de la nueva geometría: midió los ángulos del triángulo formado por tres montañas Hohenhagen, Brocken y Inselsberg para intentar demostrar que esta suma era superior a los 180 grados. No pudo concluir nada porque el margen de error hacía imposible que el resultado fuera fiable.

4.2 BOLYAI Y LOBACHEVSKY

Lobachevsky

Nikolai fue hijo de un modesto funcionario del gobierno ruso, quien murió cuando el niño tenía 7 años.

Nikolai Lobachevsky
(1793-1856)

A los 21 años empezó como profesor de la Universidad de Kazán de la que llegó a ser rector en 1827. Presentó en 1826 su aproximación en torno a la nueva geometría, pero este trabajo se perdió. Posteriormente publicó sus trabajos en Kazan, y también en el Journal für Mathematik. El primer ensayo se llamó "Sobre los fundamentos de la geometría" (1829-1830) y un segundo trabajo: "Nuevos Fundamentos de la Geometría con una Teoría Completa de las Paralelas". (1835-1837). El llamó su geometría primeramente imaginaria y luego pangeometría.

Bolyai

János Bolyai era hijo de un profesor húngaro de matemáticas de provincia: Wolfgang (Farkas) Bolyai, quien fue amigo de Gauss. Farkas había tratando de demostrar el postulado de las paralelas la mayor parte de su vida. Cuando supo que su hijo estaba interesado en el asunto lo advirtió radicalmente:

"Por amor de Dios te lo ruego, olvídalo. Témelo como a las pasiones sensuales, porque lo mismo que ellas, puede llegar a absorver todo tu tiempo y privarte de tu salud, de la paz de espíritu y de la felicidad en la vida''

En 1832-1833, János publicó "Ciencia absoluta del espacio'' como apéndice en un libro de su padre: Tentamen Juventutem Studiosam in Elementa Matheseos Purae Introducenci (Intento de introducir la juventud estudiosa en los elementos de Matémáticas Puras). Aunque publicó más tarde que Lobachevsky, Bolyai había trabajado las geometrías no euclidianas por lo menos desde 1823.

Tanto Gauss, Lobachevsky, como Bolyai concluyeron que el postulado euclidiano de las paralelas no se podía probar como deducción de los otros 9 postulados y axiomas de la geometría euclidiana, y que un postulado adicional era necesario para fundamentar esta geometría.

János Bolyai (1802-1860)

Puesto que el postulado de las paralelas era un hecho independiente, se justificaba (lógicamente) la adopción de una proposición contraria a ese axioma. Se trataba entonces de deducir las consecuencias de un nuevo sistema donde se incluyera el nuevo axioma (contrario al de las paralelas).