Obra de Kurt Gödel

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La obra lógica de Gödel hay que relacionarla desde el principio con el programa formalista de Hilbert. Su tesis doctoral fue su famosa prueba de la suficiencia semántica del cálculo lógico de primer orden, y sólo tenía 11 páginas. Dos años antes, Hilbert y Ackermann habían delimitado de un modo claro la lógica de primer orden y presentado un cálculo lógico para ella. Dicho cálculo no era completo sintácticamente en el sentido de que para cada fórmula o bien ella o bien su negación fuera deducible. Esto es así ya que un cálculo lógico solo pretende generar las fórmulas válidas (fórmulas verdaderas bajo cualquier interpretación), y hay muchas fórmulas tales que ni ellas ni su negación son válidas. Lo que si podía plantearse era la cuestión de si el cálculo era semánticamente suficiente, es decir, si permitía deducir todas las fórmulas válidas. Hilbert y Ackermann no habían encontrado respuesta a esta pregunta en 1928, y eso precisamente es lo que hizo Gödel dos años después, dando respuesta positiva: el cálculo lógico de primer orden era lo suficientemente potente como para deducir todas las fórmulas válidas (y sólo estas). Este resultado marcó un jalón en la historia de la Lógica Moderna y supuso un espaldarazo prometedor para el programa formalista de Hilbert.
El resultado más revolucionario de la Lógica del siglo XX, por el que Kurt Gödel es especialmente famoso, es el teorema de incompletitud, publicado en 1931. Este teorema es más fácil de entender si nos aproximamos a él indirectamente. Con este fin, presentaremos un rompecabezas lógico y algunos términos clave antes de pasar a la discusión del teorema propiamente dicha.
Hay una antigua afirmación paradójica, llamada paradoja del mentiroso, que puede ayudarnos a ilustrar el tema: "Esta afirmación es falsa." Pasemos a analizar tal afirmación. Si esta es verdadera, esto significa que la afirmación es falsa, lo cual contradice nuestra primera hipótesis. Por otra parte, si la afirmación es falsa, la afirmación debe de ser verdadera, lo cual nos lleva de nuevo a una contradicción. Una versión aun más simple de esta paradoja (como señaló Lewis Carrol) es la afirmación siguiente: "Yo estoy mintiendo." En estas afirmaciones se presenta el fenómeno llamado bucle extraño. Cualquier suposición inicial que se haga conduce a una refutación de ésta. Muchas de las ilusiones ópticas del arte de M. C. Escher están basadas en este concepto.
Otro término importante es el de isomorfismo. Entenderemos aquí un isomorfismo como una conexión entre un nivel del entendimiento y otro. El isomorfismo más común es el que se da entre el lenguaje y la mente. Estas palabras que usted está leyendo son combinaciones de líneas que tienen un significado atribuido. Ellas no significan nada por sí mismas, son meras conexiones con conceptos que están en nuestras mentes. Este es un ejemplo difícil, ya que estamos tan acostumbrados a hablar y escribir que olvidamos que las letras y las palabras no son la verdadera comunicación. Otro ejemplo es el sistema de numeración romana. Sabemos como expresar números arábigos (los cuales son isomorfos a dedos, rocas, etc.) en el sistema romano, pero ello es algo peliagudo. Estamos enterados del isomorfismo entre estos dos sistemas tipográficos desde el momento en el que necesitamos trasladarnos del uno al otro constantemente.
El último término a considerar es el de sistema formal. Este término parece bastante fácil, pero su propia naturaleza hace necesario definirlo explícitamente. Llamaremos sistema formal a un sistema tipográfico que sea isomorfo a la teoría de números. Esto es comparable a tomar las expresiones de lenguaje natural de las demostraciones geométricas y sustituirlas por símbolos que tengan el mismo significado. Se hace esto para evitar la ambigüedad y fomentar la precisión. El punto a tener en cuenta a la hora de trabajar con sistemas formales es que no podemos usar el sentido común o, en general, cualquier argumento ajeno al sistema. El Formalismo es un movimiento, en la Lógica y en las Matemáticas, impulsado por Hilbert en los años 20. Hilbert inventó un artificial lenguaje de la lógica y comenzó a trasladar las afirmaciones de la teoría de números dentro de él. Su propósito era construir sistemas formales completos para las principales teorías de la matemática clásica. Completos en el sentido de que cualquier afirmación puede o bien ser demostrada o bien ser demostrada su negación. El programa de Hilbert también requería que se demostrara la consistencia de dichos sistemas formales.
El teorema de incompletitud de Gödel es bastante sencillo de entender una vez hemos introducido la paradoja del mentiroso (citada más arriba). Gödel hizo manipulaciones para trasladar el lenguaje natural del mentiroso al lenguaje de las matemáticas. Lo que probó es comparable (isomorfo) a la afirmación "Este teorema no tiene demostración". ¡Lo sorprendente es que él probó el teorema! Diseñó su propio lenguaje lógico para esto. En definitiva, descubrió que existían afirmaciones verdaderas que no podían ser probadas dentro del sistema.
Gödel probó que todo sistema formal que contuviera a la aritmética elemental (un ejemplo de este sistema serían las Matemáticas como un todo) es incompleto. Además, por el camino encontró que la consistencia de dichos sistemas era imposible de probar. Esto no significó el fin del Formalismo, pero supuso un duro golpe para este.
También hizo grandes contribuciones a la Teoría de Conjuntos, como la demostración de la consistencia relativa del axioma de elección y de la hipótesis del continuo respecto del resto de los axiomas. Además, hizo importantes contribuciones al estudio del problema de la decisión, definió por primera vez las funciones recursivas, probó la consistencia de la lógica y aritmética clásica respecto de la intuicionista, se ocupó de la cosmología relativista y encontró soluciones sorprendentes a las ecuaciones del campo gravitatorio de la relatividad general.