Definiendo la matemática

jueves, 17 de septiembre de 2009

Geometrías no euclidianas por Ángel Ruiz Zúñiga

Las geometrías no euclidianas engendran modelos compatibles con el mundo real; es decir pueden servir para describir la realidad que nos rodea.

Con relación a eso el modelo de la esfera para la geometría riemanniana es muy evidente.

Con claridad vemos que las longitudes en nuestro planeta están sobre geodésicas que poseen curvatura.

Es más exacto pensar en términos de curvas que de rectas.

De hecho, otro ejemplo, los peritos topógrafos necesitan usar reglas geométricas diferentes a las euclidianas para realizar sus mediciones de terrenos que no son planos ni rectos.

El concepto de recta euclídea es una abstracción más que una realidad.

La pregunta que surge es ¿por qué en la historia de la humanidad surgió primero una geometría como la euclidiana y no, por ejemplo, una esférica?

8.1 LA CUERDA ESTIRADA

La respuesta está en que los griegos antiguos escogieron una cuerda estirada o el borde una regla como la línea recta física y con esa escogencia establecieron los axiomas euclídeos, base de toda su geometría.

Esta escogencia pareciera lo natural para seres vivientes que se mueven en superficies pequeñas.

Por ejemplo, no podemos apreciar la curvatura de las longitudes del planeta Tierra tan fácilmente.

De hecho, su carácter cuasiesférico tomó mucho tiempo para ser descubierto.

Si bien en los griegos antiguos se llegó a afirmar la redondez de la Tierra (probablemente, por la perfección atribuida a lo circular) e, incluso, que ésta giraba alrededor de un gran fuego central, durante siglos la visión dominante era que la Tierra era plana.

Una longitud terrestre es siempre una curva.

Newton y Einstein

Para distancias físicas pequeñas la geometría euclidiana sirve.

Newton elaboró sus leyes con base en la geometría euclidiana (y con los conceptos de espacio y tiempo absolutos e independientes).

Pero en el espacio esto ya no es así. Geometrías no euclidianas son las que sirven para explicar fenómenos estelares.

Los rayos de luz se toman como las líneas rectas de la geometría espacial. Pero los rayos de luz se distorsionan (se ``curvan'') por la acción gravitatoria de las masas planetarias.

El Sol, la Tierra, la Luna, Júpiter y otros astros distorsionan los rayos de luz.

La masa planetaria distorsiona los rayos de luz

Un paradigma Ángel Ruiz Zúñiga

Pero volvamos a la historia de la geometría. Una vez escogida la línea recta, todas las otras figuras geométricas se vieron condicionadas por esa escogencia. Entonces pasó lo que ya sabemos: una escogencia de lo que podemos llamar un paradigma (un modelo de ideas sobre la realidad) realizada socialmente, y con influencia de las limitaciones y ca-racterísticas de nuestra especie, definió una evolución cultural durante más de 2000 años

8.2 LECCIONES ÚTILES

La historia de la geometría no euclidiana deja muchas lecciones.

Lo primero que las geometrías no euclidianas logran es cuestionar el estatus de la geometría euclidiana como u-na descripción de las propiedades geométricas del mundo que nos rodea. O, lo que es igual, establece nuevas teorías para e-sa descripción. En la génesis de la matemática, como en todas las ciencias, participan entonces las condiciones materiales, circunstancias sociales, y procesos de pensamiento.
Durante todo el siglo XIX fueron muy pocos los matemáticos que pensaron que estas teorías eran aplicables a la realidad. Las vieron mayoritariamente como curiosidades lógicas, o derivables de la euclidiana de una u otra ma-nera.
Las matemáticas no son colecciones de verdades sobre la realidad. Al igual que en todas la ciencias, las teorías de las matemáticas son descripciones aproximadas de nues-tro mundo.
Las teorías se usan de acuerdo a su utilidad y capacidad para describir y explicar procesos de nuestro mundo. Si no sirven o no son adecuadas a esos propósitos otras teorías las sustituirán.
Las teorías matemáticas son contruidas por individuos de carne y hueso en grupos y culturas humanas precisas. Estas trasmiten sus limitaciones, sus prejuicios, opiniones y capacidades, y condicionan las características y el destino de las teorías. Las comunidades matemáticas deciden sus criterios para aceptar la validez de sus teorías. Esos criterios son también históricos y sociales. Por eso a veces son unos y a veces otros.

A veces las comunidades se equivocan.

Las geometrías no euclidianas demostraron que no hay teorías definitivas, absolutas, verdaderas para siempre, y que, entonces, la mejor actitud en el conocimiento (y en la vida) es la de respeto, apertura y flexibilidad para aceptar nuevas ideas o teorías.

8.3 PREGUNTAS

Conteste las siguientes preguntas.

¿Por qué la gente pensaba que la Tierra es plana?
¿Qué es un paradigma?
¿Son las matemáticas colecciones de verdades absolutas? Explique.
¿Qué le sucede a los rayos de luz en el espacio cuando pasan cerca de planetas?
Diga si la proposición es falsa o verdadera. Justifique su respuesta.
Newton mejoró el modelo de la física de Einstein.
Las geometrías no euclidianas son mejores que la geo-me-tría euclidiana.
Comente

"Las teorías matemáticas son contruidas por individuos de carne y hueso en grupos y culturas humanas precisas. Estas trasmiten sus limitaciones, sus prejuicios, opiniones y capacidades, y condicionan las características y el destino de las teorías. Las comunidades mate-má-ti-cas deciden sus criterios para aceptar la validez de sus teorías. Esos criterios son también históricos y sociales. Por eso a veces son unos y a veces otros. A veces las comunidades se equivocan.''

Babini, José. Historia sucinta de la matemática. Madrid: Es-pasa-Calpe, S.A., 1969.
Baron, Margaret E. The Origins of the Infinitesimal Calculus. Londres: Pergamon Press, 1969.
Bell, E.T. Men of Mathematics. New York: Simon and Shuster, 1937.
Bell, E.T. Development of Mathematics. New York: MacGraw Hill Book Co., 1940. Una versión también en inglés pero aumentada salió en 1945. Versión en español por el Fondo de Cultura Económica S. A.: México, 1949.
Bell, E.T. Mathematics. Queen & Servant of Science. Washington D. C. : Mathematical Association of America, 1951. Otra edición por Tempus Books of Microsof Press: Redmond, Washington, 1987.
Benacerraf, Paul y Putnam, Hilary (editores): Philosophy of Mathematics: Selected Readings. Cambridge University Press, 1983.
Bernal, John D.. Science in History. Londres: C. A. Watts and Co. Ltd., 1954. Versión en español (traducción de Eli de Gortari) por la UNAM de México: México, 1972.
Bochner. Salomon. The Role of Mathematics in the Rise of Science. Princeton, N. J.: Princeton University Press, 1966.
Bolzano, Bernard. Las paradojas del infinito. México: UNAM (Colección MATHEMA), 1991. La primera versión de este trabajo fue publicada en alemán en Leipzig en 1851.
Bonola, R. Non-Euclidean Geometry. New York: Dover, 1955.
Bourbaki, Nicolás. Elements d'Histoire des mathematiques. París: Hermann, 1960. Edición en español por Alianza Editorial: Madrid, 1972.
Boyer, Carl B. The Calculus and its Conceptual Development. New York: Dover, 1959.
Boyer, Carl B. A History of Mathematics. John Wiley and Sons, 1968. Posee una traducción al español por Alianza Editorial: Madrid, 1986.
Campbell, Douglas y Higgins, John C.. Mathematics: People, problems, Results. Belmont, California, EUA:Wadswoth, Inc., 1984.
Cohen, I. Bernard. Revolution in Science. Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1985.
Coxeter, H. S. M., Introducción a la Geometría, México: Limusa--Wiley, 1971.
Fauvel, J. y Gray, J. (editores) The History of Mathematics: A Reader, Milton Keynes, Reino Unido: Open University, 1987.
Gauss, Carl Friedrich. Disquisitiones Arithmeticae. Versión española publicada por la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales: Bogotá, 1995, y realizada por Angel Ruiz, Hugo Barrantes, y Michael Josephy de la Universidad de Costa Rica.
Gillies, Donald (editor). Revolutions in Mathematics. Oxford: Clarendon Press Oxford, 1992.
Greemberg, Marvin Jay. Euclidean and non-Euclidean Geometries. New York: W.H. Freeman and Company, 1974. (Primera edición en 1972).
Hartshorne, R., Companion to Euclid: A course of geometry, based on Euclid's Elements and its modern descendants. Providence, RI: American Mathematical Society, 1997.
Heath, T. L.: A History of Greek Mathematics. Oxford: Clarendon Press, 1921.
Heath, T. L. Euclid`s Elements. New York: Dover, 1956.
Hull, L. W. H. History and Philosophy of Science. Messr. Longmans, Green and Co. Ltd., 1959. Versión en español por Seix Barral: Barcelona, 1962.
Kline, Morris. Mathematics in Western Culture. New York: Oxford 1953.
Kline, Morris. Mathematics for the Nonmathematician. New York: Dover, 1985. La primera edición apareció como Mathematics for liberal arts. Reading, Mass., EUA: Addison Wesley, 1967.
Kline, Morris. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. New York: Oxford University Press, 1972.
Kline, Morris. Mathematics. The Loss of Certainty. New York: Oxford University Press, 1980.
Kline, Morris. Mathematics and the search for Knowledge. New York: Oxford University Press, 1985.
Kneale, William y Martha. The Development of Logic. Oxford: Clarendon Press, 1962. Versión en español de Editorial Tecnos: Madrid, 1972.
Kramer, Edna. The Nature and Growth of Modern Mathematics. Princeton, N. J.: Princeton University Press, 1981.
Klein, F. Geometry, parte 2 del libro Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. New York: Dover, 1948.
Knorr, Wilbur R.. The ancient tradition of geometric problems. Boston: Birkhäuser, 1986. Otra edición por Dover: New York, 1993.
Lakatos, Imre. Mathematics, Science and Epistemology Philosophical Papers. Volume 2. Londres: Cambridge University Press, 1978. La versión en español es de Alianza Editorial: Madrid, 1983.
Newman, James (editor). The World of Mathematics. New York: Simon and Schuster, 1956. Edición en español por Ediciones Grijalbo S. A.: Barcelona, 1969.
Poincaré, H. Science and Hypothesis. New York: Dover, 1952.
Polyá, G. How to solve it. A New Aspect of Mathematical Method. Princeton, N. J.: Princeton University Press, 1945.
Ruiz, Angel. "Sobre la revolución científica y matemática en el siglo XVII'', en el libro editado por A. Ruiz: Las Matemáticas en Costa Rica (Memorias "Tercer Congreso Nacional de Matemáticas''), Octubre 1990, San José, Costa Rica.
Ruiz, Angel. "Polémicas de método en la historia de la ciencia y las matemáticas'', en el libro editado por A. Ruiz : Las Matemáticas en Costa Rica (Memorias "Tercer Congreso Nacional de Matemáticas''), Octubre 1990, San José, Costa Rica.
Ruiz, Angel. Matemáticas y filosofía. Estudios logicistas. San José, Costa Rica: Editorial de la Universidad de Costa Rica, 1990.
Ruiz, Angel. "Los orígenes de la Revolución Científica'', Elementos, N.14, Año 4, Vol. 2, julio setiembre 1990, Univ. Autónoma de Puebla, Puebla, México.
Ruiz, Angel. Ocaso de una utopía. Costa Rica: Editorial de la Universidad de Costa Rica, 1993.
Ruiz, Angel. "Tecnología y humanismo''. Panorama de un mundo cambiante. Cátedra de Historia de la Cultura, Estudios Generales, Univ. C.R., agosto 1994.
Ruiz, Angel, y Barrantes, Hugo. Elementos de Cálculo Diferencial (2 volúmenes), San José, Costa Rica: Edit. Univ. CR, 1997.
Ruiz, Angel, y Barrantes, Hugo. Elementos de Cálculo Diferencial. Historia y ejercicios resueltos, San José, Costa Rica: Edit. Univ. CR, 1997.
Smith, D. E. History of Mathematics. Boston: Ginn, 1923. También en Dover: New York, 1958.
Struik, D. J. A Concise History of Mathematics. New York: Dover, 1967.
Struik, D. J. A Source Book in Mathematics 1200-1800. Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1969. Otra edición por Princeton University Press: Princeton, N. J., 1986.
Taton, René (Editor). Histoire générale des sciences. París: Presses Universitaires de France, 1957-1961, 5 volúmenes.
Tsijli, Th., Geometría Euclídea I, San José: Editorial de la UNED, 1994.
Várilly, J. C., Elementos de Geometría Plana. San José: Editorial de la UCR, 1988.
Yaglom, I. M., Geometric Transformations III, New York: Random House, 1973.

Ángel Ruiz Zúñiga es un matemático, filósofo y educador nacido en San José, Costa Rica.

Su vida profesional ha estado asociada a varios temas: educación matemática, historia y filosofía de las matemáticas, filosofía política y desarrollo social, sociología e historia de las ciencias y la tecnología, problemas de la educación superior, y asuntos de la paz mundial y el progreso humano.

Autor de numerosos libros y artículos académicos, expositor y conferencista en más de un centenar de congresos internacionales, y organizador constante de eventos científicos internacionales y nacionales, ha sido, también, consultor y asesor en asuntos científicos, académicos, universitarios y políticos durante muchos años dentro y fuera de Costa Rica.

http://www.cimm.ucr.ac.cr/aruiz/curriculum.php

Capitulo 7

Como hemos visto, en la geometría esférica no pasa una paralela por un punto exterior a una recta. Esta geometría sobre la superficie de una esfera constituye lo que llamamos un modelo o una representación de algo que se llama la geometría doble elíptica, planteada por el gran matemático alemán Bernhard Riemann en el siglo XIX.

Antes vimos que si no se asume el quinto postulado de Euclides es posible asumir dos postulados contrarios. Ya vimos uno de ellos.

Si asumimos el otro posible criterio, es decir si por un punto exterior a una recta dada pasan más de una recta paralela, estaremos en lo que se llama geometría hiperbólica.

Como precisamos antes, fueron los grandes matemáticos Gauss, Lobachevsky y János Bolyai quienes construyeron este tipo de geometría.

Para conseguir un modelo (un ejemplo) de geometría hiperbólica las cosas no son tan fáciles. La primera aproximación que vamos a hacer es a través de una silla de montar .

7.1 EN UNA SILLA DE MONTAR

Esta geometría se puede representar como si el plano fuera una silla de montar a caballo. Recuerde la forma de ese tipo de sillas. Consideremos en este plano una recta y un punto fuera de ella.

Usted puede fácilmente observar que existe más de una paralela que pasa por .

En el dibujo anterior vea cómo dados la recta y el punto , existen rectas y que pasan por y son paralelas a .

7.2 DENTRO DE UN DISCO

Ahora vamos a ver otra representación de la geometría hiperbólica. Le vamos a llamar el modelo de Beltrami-Klein porque fue planteado por los matemáticos Eugenio Beltrami (italiano) y Felix Klein (alemán).

Dibujemos un círculo en el plano euclidiano normal.
Llamemos al centro del círculo.
Si es un punto en la circunferencia entonces $\overline{OR}$ es el radio.

Vea la figura siguiente:

Interior del círculo

Como usted sabe muy bien, el interior de consiste de todos los puntos tales que $OY\lneqq OR.$

Ahora sí, aquí está la definición:

Los puntos del interior del círculo representan los puntos del nuevo plano hiperbólico.

Note que los puntos de la circunferencia no son parte de este plano hiperbólico.

Sigamos:

Una cuerda es un segmento que conecta dos puntos A y B que están en la circunferencia.

Este segmento sin los puntos terminales se llama cuerda abierta.

Se denota . Vea la figura:

$\overline{AB}$ y

$\overline{CD}$ son cuerdas abiertas

Entonces:

Una recta en este modelo es una cuerda abierta.

Es decir: las cuerdas abiertas son las rectas de este plano.

El punto está en quiere decir que está en la recta euclídea y que está entre y .

Llegamos a un punto clave. Consideremos el punto y la recta .

Podemos trazar dos rectas paralelas $l_{1}$ y $l_{2}$ que pasan por y ambas son paralelas a la cuerda abierta .

La figura siguiente evidencia nuestra anterior afirmación:

Bueno, usted se habrá preguntado ¿cuál es la definición de paralelismo para que las cosas funcionen así?

Aquí la definición de dos rectas paralelas es que no posean un punto en común.

Es decir: dos cuerdas abiertas son paralelas si no poseen puntos en común.

Note que no importa que al extender $l_{1}$ y $l_{2}$ éstas corten a la extensión de .

El plano hiperbólico no sigue fuera del círculo .

7.3 OTRO MODELO

Otro modelo de geometría hiperbólica es lo que se suele llamar el disco de Poincaré, en honor a un matemático francés de finales del siglo XIX y principios del siglo XX (de hecho, Poincaré creó dos modelos de geometría hiperbólica). Es parecido al anterior de Beltrami-Klein.

Se toma, también, como plano al conjunto de los puntos del interior de un círculo .

Sin embargo las rectas se definen de manera diferente.

En primer lugar:

todos los diámetros son rectas.

Los diámetros son rectas

Otras rectas se definen de la siguiente manera:

Dado el círculo constrúyase un círculo que sea ortogonal a .

Es decir que en sus puntos de intersección, sus respectivos radios sean perpendiculares. Esto lo podemos visualizar así:

Círculos que se cortan ortogonalmente

El arco del círculo que está dentro del interior de representa una recta del plano de Poincaré.

Debe recordar siempre que el plano hiperbólico no incluye los puntos en la circunferencia de .

Entonces:

Los diámetros de y estos arcos así construidos son las rectas del plano de Poincaré.

Un detalle: las longitudes se distorsionan cerca de la frontera (circunferencia) para hacerla inalcanzable.

Para que se tenga una idea mayor, veamos como se encontraría un ángulo:

El ángulo se mide a partir de las rectas tangentes (euclidianas) a las curvas en el punto de intersección.

Rectas tangentes a un círculo

Rectas tangentes a una función

Ahora usted puede darse cuenta que existe un número infinito de rectas paralelas a una recta y que pasan por un punto externo .

En la figura siguiente construimos 2 rectas paralelas a (que no poseen puntos en común con ) y que pasan por .

Vamos a representar un cuadrilátero en este modelo:

Note que uno de los vértices es el centro del disco. Si lo ampliamos nos queda así:

Observe que este cuadrilátero posee 3 ángulos rectos y uno agudo. Este tipo de cuadriláteros fue planteado por el matemático suizo Lambert en el siglo XVIII. Como ha podido notar, al cambiar algunas reglas del juego geométrico, toda la geometría común se trastoca. Es un nuevo juego aunque participen algunas características similares.

7.4 EL OTRO MODELO DE POINCARÉ

Para ofrecer una pincelada del otro modelo de Poincaré, vamos a mencionar lo básico: Este plano hiperbólico viene representado por los puntos de uno de los semiplanos determinados por una recta euclídea fija. Considere la figura siguiente, en la cual tomamos el semiplano determinado por el eje :

Las rectas se repreentan por 2 formas:

a) como rayos que emanan de puntos sobre el eje y perpendiculares al eje;

b) como semicírculos en la aprte superior del semiplano cuyo centro descansa sobre el eje .

Las nociones de "estar entre'' e "incidencia'' son las euclídeas.

Un comentario final: los tres últimos modelos no son tan diferentes; en realidad se puede establecer una correspondencia unívoca (es decir, uno a uno) entre los puntos y rectas de un modelo y los correspondientes de otro, de tal manera que se preserve la "incidencia'', la relación "estar entre'' y la "congruencia''.

7.5 PREGUNTAS