Ecuaciones:

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Escrito por: Silvia Sokolovsky

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Podemos definir a las ecuaciones como una igualdad entre expresiones algebraicas (sucesión de términos constituidos de números y letras, cada término es separado del otro por un signo "+" ó "-"),en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnita (cuyo valor hay que averiguar). Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha. Se denomina solución de una ecuación a un valor o conjunto de valores de la incógnita (x), para los cuales se verifica la igualdad.

Una ecuación puede tener ninguna, una o varias soluciones. Por ejemplo:

5x – 9 = 1 es una ecuación con una incógnita con una solución, x = 2

x

² + y ² + 5 = 0 es una ecuación con dos incógnitas sin solución, pues la suma de dos cuadrados es un número positivo, a partir del cual no se puede obtener 0 sumándole 5.

2x + 3y = 15 es una ecuación con dos incógnitas que tiene infinitas soluciones, algunas de las cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = -15.

Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de solución.

Así, la ecuación 3x – 7 = x + 1 es equivalente a 2x – 8 = 0 porque ambas tienen como solución única x = 4.

Tipos de Ecuaciones

Las ecuaciones con una incógnita suelen tener un número finito de soluciones, mientras que en las ecuaciones con varias incógnitas encontramos infinitas soluciones, las que suelen ser estudiadas cuando forman sistemas de ecuaciones.

Podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones con una incógnita: polinómica, racionales, exponenciales, trigonométricas…

Las ecuaciones polinómicas son de la forma P_(x) = 0, donde P_(x) es un polinomio en x, que al trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.

3x³ - 5x² + 3x + 2 = 0 es una ecuación polinómica.

Las ecuaciones polinómicas de primer grado, ax + b = 0, se llama ecuación lineal.

5x + 7 = 3 (es lineal).

(x – 5)² + 3 = x² – 1 (No hay que dejarse engañar por las apariencias, esta ecuación también es lineal. Al desarrollar y simplificar se obtiene: –10x + 29 = 0).

Las ecuaciones polinómicas de segundo grado que responden a la estructura: ax² + bx + c = 0, se las denomina cuadráticas. Son ecuaciones de este tipo: x² - 5x + 3 = 0, ó (x – 2)² + 7x =5 + x. (En este caso, se despeja x de manera que al final queda una ecuación cuadrática, o sea, un polinomio de grado dos.

Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la incógnita está bajo un signo radical, como

Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen cocientes de polinomios; por ejemplo:

En las ecuaciones exponenciales la incógnita está en un exponente: 2^x = 8

En las ecuaciones logarítmica (inversa de las de tipo exponencial) la incógnita se encuentra afectada por el logaritmo, acordarse que la solución debe estar de acuerdo con el dominio de la función logarítmica): log (x + 1) = 10.

En las ecuaciones trigonométricas la incógnita está afectada por alguna función trigonométrica; por ejemplo:

sen (^p/₄ + x) – cos x = 1

Resolución de Ecuaciones

Resolver una ecuación es hallar su solución (soluciones), o podemos llegar a la conclusión que no tiene solución. Para resolver una ecuación, se pasa a otra equivalente cuya apariencia sea más sencilla. Para averiguar el valor de x debe despejarse la letra incógnita. Para ello nos valemos de una propiedad matemática (propiedad uniforme) que nos permite poner un mismo número en ambos miembros de la expresión algebraica, siempre y cuando se mantenga la igualdad.

4x – 7 = 1 (tenemos esta ecuación)

4x – 7 + 7 = 1 + 7 (Para que el – 7 se anule le sumamos 7, por eso se dice que un numero que está restando "pasa" sumando).

4x = 1 + 7

4x = 8

4x : 4 = 8 : 4 (Para anular el cuatro que está multiplicando dividimos ambos miembros por 4, por eso se dice que un numero que está multiplicando "pasa" dividiendo)

Tiene una única solución: x = 2.

Sin embargo, hay tipos de ecuaciones para cuya resolución se requieren técnicas especiales. Es el caso, por ejemplo, de las ecuaciones cuadráticas y bicuadradas.

Resolución de ecuaciones cuadráticas

No existe una única forma de escribir la ecuación cuadrática.

Generalmente las ecuaciones cuadráticas se presentan de la forma polinómica:

f_(x) = ax² + bx + c

la que se resuelve mediante la ecuación cuadrática

Por ejemplo, la ecuación 2x² + 5x + 3 = 0 de coeficientes

a = 2, b = 5, c = 3, se resuelve así:

Casos especiales

Las ecuaciones de segundo grado de los tipos siguientes se llaman incompletas porque les falta uno de los términos:

ax

² + bx = 0

ax

² + c = 0

Se pueden resolver aplicando la fórmula general, pero es más cómodo resolverlas despejando directamente la x.

En el primer caso, ax² + bx = 0 → (ax + b)x = 0

Una solución es x = 0 y la otra se obtiene resolviendo la ecuación lineal ax + b = 0.

Por ejemplo: 3x² + 5x = 0 → (3x + 5)x = 0 → 3x + 5 = 0 ó x = 0, despejando x concluimos que las soluciones son) x = 0 y x = – 5/3.

En el segundo caso, ax² + c = 0 → ax² = – c → x² = – c/a →

Por ejemplo: 3x² - 17 = 0 → 3x2 = 17 →

Resolución de ecuaciones bicuadradas

Se llama bicuadrada a una ecuación polinómica de cuarto grado que no tiene términos de grado impar: ax⁴ + bx² + c = 0 (1)

Si se realiza el cambio de variable x² = z, con lo cual x⁴ = z², entonces se transforma en una ecuación de segundo grado:

az² + bz + c = 0 (2) Cada una de sus soluciones puede dar lugar a dos, una o ninguna solución de la ecuación inicial. Así, si z es solución de la ecuación (2), se verifica que:

si z₁ > 0 , entonces x₁ = , x₂ = - son raíces de (1);

si z₁ = 0 , también x₁ = 0 es raíz de (1);

si z₁ <>x₂ = z₁ no da lugar a ninguna solución real de x.

Por ejemplo, la ecuación bicuadrada: x⁴ - x² – 12 = 0 se transforma, mediante el cambio de variable x² = z, en la ecuación de segundo grado: z² – z – 12 = 0

Cuyas soluciones son

Por tanto, las únicas raíces reales de la ecuación son x₁ = 2, x₂ = – 2.

Resumiendo: las ecuaciones bicuadráticas cuya expresión es: ax⁴ + bx² + c = 0 , se pueden obtener hasta cuatro resultados aplicando:

Sistema de ecuaciones:

Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se pretende hallar. Para indicar que varias ecuaciones forman un sistema, se abarca el conjunto de todas ellas con una llave.

Las ecuaciones de un sistema suelen tener dos o más incógnitas, por lo que cada una de ellas puede tener infinitas soluciones. Se llama solución del sistema a una solución común a todas las ecuaciones que lo forman. Resolver un sistema de ecuaciones es hallar todas sus soluciones o concluir que no tiene solución. Si dos sistemas de ecuaciones tienen las mismas soluciones o ambos carecen de solución, se dice que son equivalentes.

Los sistemas de ecuaciones sin solución se llaman incompatibles y los que tienen solución, compatibles.

Por ejemplo, el sistema formado por las ecuaciones 2x - 5y = 16 y 4x + y = 10 se expresa así

La solución de este sistema es x = 3, y = - 2 porque es solución de ambas ecuaciones. Es, por tanto, un sistema compatible.

El sistema es incompatible, pues no tiene solución.

Los sistemas de ecuaciones lineales son especialmente interesantes por las múltiples aplicaciones que tienen en diversas ciencias.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

:

Una ecuación con varias incógnitas es lineal si es de la forma ax + by = c, ax + by + cz = d,…, es decir, si las incógnitas aparecen sin exponentes (elevadas a 1).

Un sistema de ecuaciones lineales compatible, o bien tiene solución única (es determinado), o tiene infinitas soluciones (es indeterminado).

Existen varios métodos elementales para resolver sistemas de ecuaciones: el método de sustitución, el método de igualación y el método de reducción. A continuación se aplican en la resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su expresión en la otra, la cual se transformará en una ecuación con una incógnita que se puede resolver. Una vez conocido el valor de dicha incógnita se obtiene, de inmediato, el valor de la otra.

Para resolver el sistema por el método de sustitución conviene despejar la y de la segunda ecuación:

y

= 10 – 4x (ahora se sustituye su valor en la primera) Þ 2x - 5.(10 – 4x) = 16

Se resuelve la ecuación resultante, pues sólo tiene una incógnita:

2x – 50 + 20x = 16 Þ 22 . x = 66 Þ x = 66 : 22 = 3

Ahora el valor de x se sustituye en la expresión de y obtenida antes:

y

= 10 – 4x = 10 – 4 · 3 = 10 – 12 = – 2

Se ha obtenido así la solución x = 3, y = – 2.

El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar sus expresiones, obteniendo así una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta se obtiene fácilmente el valor de la otra incógnita.

Para resolver por igualación el sistema anterior, se puede despejar la x en ambas ecuaciones e igualar sus expresiones:

(despejamos x en cada una de las expresiones para igualarlas y, de esa manera, poder hallar el valor de y)

Por último, se sustituye el valor de y en alguna de las expresiones de x:

Se ha obtenido la solución x = 3, y = – 2.

El método de reducción consiste en procurar que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones para que, al restarlas miembro a miembro, se elimine dicha incógnita, dando lugar a una ecuación con sólo la otra incógnita. Se resuelve dicha ecuación y el valor de la incógnita se sustituye en una de las ecuaciones primitivas, y con ello se puede obtener el valor de la otra incógnita.

Para resolver por reducción el mismo sistema:

se multiplican los dos miembros de la primera ecuación por 2 con el fin de que el coeficiente de la x sea el mismo en ambas ecuaciones: 4x – 10y = 32 y 4x + y = 10

Ahora, restando miembro a miembro se obtiene la ecuación siguiente:

– 11y = 22 Þ y = 22 : (– 11) Þ y = – 2.

Y se sustituye en una de las ecuaciones iniciales:

2x – 5(–2) = 16 Þ 2x + 10 = 16 Þ 2x = 6 Þ x = 3

La solución es x = 3, y = -2.

Representación gráfica

:

La representación de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas consiste en un par de rectas, si éstas se cortan, el sistema es compatible determinado y las coordenadas del punto de corte son la solución del sistema. Si las rectas son paralelas, el sistema es incompatible. Si las rectas son coincidentes (son la misma recta), el sistema es compatible indeterminado: sus soluciones son todos los puntos de la recta.

Por ejemplo, el sistema de ecuaciones

Se trazan ambas rectas y el punto donde se cortan es la solución del sistema.

El punto en que se cortan las rectas, (2,1), es la solución del sistema: x = 2, y = 1.

Una ecuación lineal con tres incógnitas, ax + by + cz = d, se representa generalmente mediante un plano en un sistema de R³. La representación de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas consiste en tres planos cuya posición relativa determina que el sistema sea compatible o incompatible. Si los tres planos se cortan en una recta, el sistema es compatible indeterminado, pues tiene infinitas soluciones. Si no se cortan (no existe ningún valor para x, y, z) el sistema es incompatible.

Si el sistema de ecuaciones con tres incógnitas puede ser prepresentado por rectas en un espacio (por lo menos cuatro dimensiones), en ese caso si las tres se cortan en un punto el sistema es compatible determinado. (ver rectas paramétricas)

Resolución de ecuaciones racionales

En este caso tenemos "fracciones" con polinomios. Se recomienda factoriar siempre el denominador para poder buscar el denominador común y reducir la operación a un polinomio (generalmente de primer o segundo grado) al que se lo resuelve como una ecuación común.

Pongamos un ejemplo:

Factoriamos lo que sea factoriable

Como no se repite ningún binomio en la suma, tomamos ambos como "común denominador". Se opera igual que una suma de fracciones, se divide (x - 1) (x + 1) por cada uno de los denominadores y el resultado se lo multiplica por el numerador.

Se simplifican los denominadores quedando una ecuación lineal.

Se despeja x.

Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas

En este tipo de ecuaciones se debe tener presentes las propiedades de logarítmos ya que las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas una de otras.

Ecuación exponencial:

Aplicamos logaritmo a ambos miembros de la ecuación.

Al resolverse el logaritmo queda una ecuación la que puede ser lineal o cuadrática. De ser cuadrática se aplica la ecuación para resolverla. En este caso es lineal así que se despeja x.

Ecuación logarítmica:

Aplicamos definición de logaritmo. Como no hay ningún número que indique la base del logaritmo, la base es 10. Por definición, el resultado del logaritmo es la potencia, así que queda 10².

Al quedar una ecuación se despeja x.

Función Lineal:

Autora: Silvia Sokolovsky
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Juguemos a la batalla naval:

Ubiquemos cada posición del barco poniendo adelante la letra y detrás el número.

Barco de un casillero : (D; 2)

Barco de dos casilleros: (E; 4) (E; 5)

Barco de tres casilleros: (A; 6) (B; 6) (C; 6)

Barco de cinco casilleros: (G; 1) (G; 2) (G; 3) (G; 4) (G; 5)

Suplantemos las letras por números

¿Cómo quedarían las coordenadas de las barcos ?

Barco de un casillero : (4; 2)

Barco de dos casilleros: (5; 4) (5; 5)

Barco de tres casilleros: (1; 6) (1; 6) (1; 6)

Barco de cinco casilleros: (7; 1) (7; 2) (7; 3) (7; 4) (7; 5)

Coloquemos los puntos en un par de ejes cartesianos (como estaban en el juego)

Fíjate que la primera componente del punto siempre es x y la segunda componente siempre será y; a partir de esta característica se lo denomina "par ordenado”.

Sobre las abscisas siempre va el conjunto llamado "de partida" cuyo elementos se suelen llamar preimagenes. Sobre las ordenadas va el conjunto denominado "de llegada" cuyos elementos reciben el nombre de imágenes.

(Ver la explicación en video)

Definamos, por extensión, ambos conjuntos, (fíjate el gráfico).

x = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

y = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Observemos detenidamente la gráfica, con todos los elementos del primer conjunto (el de partida) que tengan por lo menos una imagen podemos formar otro conjunto, llamemos dominio a ese conjunto.

Dominio: { 2, 3, 4, 5, 7}

“1” y “6” no tienen imagen, por lo tanto no forma parte del dominio.

Todas los elementos del segundo conjunto formarán al conjunto imagen.

Imagen:{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

En este caso no ha quedado ningún elemento del conjunto de llegada sin ser imagen de cada elemento del dominio.

En algunos libros, al conjunto de llegada se lo suele llamar codominio, y en otros textos el “codominio” es sinónimo de conjunto imagen, depende del criterio del autor.

Como podemos relacionar los elementos del primer y segundo conjunto a través de una relación establecida entre ambos, veamos un ejemplo conservando los conjuntos de partida y llegada del ejercicio anterior.

“y es menor que x”" o escrito en símbolos “y < x”.

De acuerdo al valor que se tome para "x" tendremos el valor en "y", siempre más chico. De allí que el par (2;1) si pertenece a la relación pero el par (1;2) no.

Escribamos todos los pares que satisfagan la relación " y < x ".

R = {(2, 1); (3, 1); (4, 1); (5, 1); (6, 1); (3, 2); (4, 2); (5, 2); (6, 2); (7, 2); (4, 3); (5, 3); (6, 3); (7, 3); (5, 4); (6, 4); (7, 4); (6, 5); (7, 5); (7, 6)}

Si representamos los pares en un par de ejes cartesianos, veremos claramente que “1” no pertenece al dominio y “7 ” no es imagen de ningún número.

Dominio: {2, 3, 4, 5, 6, 7}

Imagen: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Al caso, donde a cada elemento del dominio le corresponda una y solo una imagen, lo llamaremos función, f _(x) (f de x) se designa (reemplazando en la ecuación a y ).

Las funciones son igualdades establecidas entre "x" e "y", por ejemplo y = x, (función identidad) donde "y" toma los mismos valores que tiene "x". También puede escribirse f _(x) = x (que quiere decir exactamente lo mismo). En funciones escribir "y" ó "f _(x)" es lo mismo.

Otra aclaración: desde ahora trabajaremos con los números reales como conjunto de partida y de llegada.

Uno de los graves errores de nuestra educación al enseñar matemática es separar la aritmética de la geometría, como si fueran dos cosas totalmente distintas. Este error es, además, ofensivo para todas aquellas personas que durante cientos de años trataron (y con éxito) de reunir ambas disciplinas bajo un mismo techo, dándoles forma y orden.

La geometría trabaja con conceptos primitivos, punto, recta, plano y espacio. El punto puede equipararse con un número real y la recta con el conjunto de los números reales. Toda relación geométrica puede expresarse mediante la misma simbología que utilizamos para indicar las relaciones entre los números. Algunas operaciones aritméticas deben su nombre a la geometría. Veamos un ejemplo.

Dibujemos un rectángulo cuyo vértice coincida con el centro de coordenadas de un eje cartesiano. La base, que estará sobre el eje x, lo llamaremos "x", mientras que la altura podemos llamarla "m", la que en este caso es tiene un valor arbitrario 4.

"m" es una magnitud constante, por lo tanto, una vez que le has dado su valor, siempre tendrá el mismo. En cuanto a "x", puede tener cualquier longitud.

Entonces, los valores de la superficie cambian a medida que cambia el valor de "x". El valor de la superficie está dada en función de x.

De aquí en adelante estudiaremos las funciones en base al área que determina la gráfica de la función y los ejes.

Vimos que en una relación cualquiera una elemento del dominio (x) podía tener más de una imagen (y). La función es una relación donde cada elemento del dominio puede tener una y sólo una imagen (unicidad) además de tener a todos los elementos del conjunto de partida dentro del dominio (completitud).

Las funciones son igualdades establecidas entre "x" e "y", por ejemplo y = x, (función identidad) donde "y" toma los mismos valores que tiene "x". También puede escribirse f_(x) = x , que quiere decir exactamente lo mismo.

“En funciones escribir "y" ó "f_(x)" es lo mismo.”

Otra aclaración, desde ahora trabajaremos con los números reales como conjunto de partida y de llegada.

Ahora debemos clasificarlas.

Funciones:

Inyectiva: es aquella donde cada elemento del dominio tiene diferente imagen

Sobreyectiva: es aquella donde cada elemento del conjunto de llegada es imagen de algún elemento del dominio. Es decir conjunto de llegada e imagen son iguales)

Biyectiva: es aquella función donde se cumplen ambas propiedades inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

La función biyectiva admite inversa.

La función inversa es aquella donde el dominio y el conjunto imagen intercambian posiciones, se invierten. El dominio será el conjunto imagen y viceversa. Para hallar la inversa de una función cambiamos x por y, (y viceversa), despejamos y. Diferenciamos una función de su inversa pues en esta última colocamos (a modo de potencia) sobre y ó f_(x) un –1.

Ejemplo: Sea f_(x) = 5.x + 2, para hallar la inversa cambiamos x por f_(x) , y viceversa:

x

= 5 f_(x)^-1 + 2 , despejamos f_(x)^-1

(es la inversa)

Función Potencial: En este tipo de función las x están elevadas a una potencia representada por un número real "a". Según los valores que tenga "a" obtendremos gráficas tan dispares como la ecuación lineal (a = 1) o la cuadrática (a = 2); m representa a un número real cualquiera.

Función Exponencial: aquí x trabaja como exponente (se analiza este tipo de función en logaritmos)

Función Logarítmica: la inversa de la función exponencial (se analiza este tipo de función en logaritmos)

Función Trigonométrica: Aquí x trabaja como argumento (ángulo) de las funciones seno, coseno, tangente, etc. (se analiza este tipo de función en Trigonometría).

Comencemos por la función más simple entre las potenciales:

Función constante: es aquella donde cada valor del codominio, no importa el valor de x, siempre será el mismo (único valor) ya que a = 0.

Como todo número elevado a cero da uno, en este caso, la función exponencial

f_(x) = m . x⁰ queda f_(x) = m . 1 Þ f_(x) = m,

donde m es un número cualquiera, por ejemplo 3.

f

_(x) = 3

¿ Cuál es el dominio ? Todos los reales.

¿ y la imagen ? Solamente un valor, 3.

Función lineal

: su ecuación es : f_(x) = m x + b, donde "b" es un número real al que se lo llama ordenada al origen y "m" (que ya lo conocemos) se denomina pendiente.

Grafiquemos en un par de ejes cartesianos una función lineal

Elegimos dos puntos cualquiera, en este caso (1, 4) y (7, 6). Marcándolos en el gráfico, trazamos una línea punteada desde cada punto hasta sus coordenadas x e y. Así quedará determinado un triángulo rectángulo. Al punto más alejado del centro lo llamaremos (x₁; y₁); al otro lo llamaremos (x_o; y_o). Completemos según las coordenadas que elegidas:

x_o = 1, y_o = 4, x₁ = 7, y₁ = 6

Marquemos el ángulo que forma la recta con el eje x.

Tomando al ángulo de guía (α) sobre la gráfica velos que el cateto adyacente mide 5 y que es el opuesto mide 2.

¿Qué operación matemática realizamos para calcularlos?, hemos restado. La resta (diferencia) se representa por el símbolo D; de allí que al restar x obtuvimos Δx (se lee diferencial x). Al restar Y obtendremos Δy ( diferencial y ). Así el cateto adyacente. y el cateto opuesto están representados por Δx y por Δy respectivamente.

¿Qué función trigonométrica relaciona Δx y Δy con el ángulo del triángulo?, la tangente.

En este caso ¿Qué valor tiene ?

Es importante notar que entre dos puntos cuales quiera que pertenezcan a la recta, puede trazarse un triángulo rectángulo, de manera que, la razón de sus catetos sea ¹/₃, el valor de la pendiente.

Para poder calcular la ecuación de esta recta sólo nos falta saber el valor de la ordenada al origen "b" .

(Ver la explicación en video)

La ecuación de la recta es: y = m x + b

Elijamos uno de los puntos de la recta, (1, 4) y suplantemos " x e y " con ellos en la ecuación: 4 = m. 1 + b

Hagamos lo mismo con el valor de "m" (la pendiente):

Despejemos b para hallar su valor:

De esa manera la ecuación de la recta que pasa por (1, 4) y (7, 6) es:

Volviendo al triángulo que quedó formado en el gráfico:

Aún queda, sin saber su medida, la hipotenusa del triángulo; ese lado coincide con la distancia entre los dos puntos marcados. El teorema de Pitágoras nos permite conocer esa medida.

Distancia entre dos puntos: D² = Δx² + Δy²

Graficar una recta (sin tabla)

Para graficar una recta se deben tener en cuenta la pendiente de la misma y la ordenada al origen.

Grafiquemos la recta:

y = 3 x + 1

La ordenada al origen es (0, 1), el o primero que ubicamos en el gráfico. A partir de ese punto aplicamos el concepto de pendiente, subimos tres (por que el valor es positivo, sentido positivo del eje y; de ser negativo bajaríamos) y corremos uno hacia la derecha (sentido positivo del eje de las x). Por esos dos puntos trazamos la recta.

Ejercicios

Video; ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Continuidad

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Autora: Silvia Sokolovsky
Para determinar que una función sea continua no necesitamos analizar cada punto que la compone, nos basta con encontrar "aquellos" que "interrumpen" la gráfica. Para hallar "esos" puntos debemos tener en cuenta tres condiciones que deben cumplir las funciones analizadas:
(a) Para el valor de "x" (elemento del conjunto de partida) elegido siempre debe existir una imagen.
Debe cumplirse que: si x = a Þ f(a) = b (b Î R)
(b) Analizando los límites laterales, ambos deben tener el mismo resultado (mismo límite)
(c) El valor del límite debe ser la imagen de la función en ese punto.
Resumiendo, para que una función sea continua en un punto debe cumplir:

Ejemplo: Analicemos la siguiente función para ver si es continua en x = 1.
Comprobamos que cumple con la parte (a):
Existe la imagen para x = 1
Analizamos los límites laterales para ver si son iguales:
Los límites laterales son iguales, implica que el límite de x ® 1 es "1", que es la imagen de la función en ese punto. Por lo tanto la función es continua en x = 1.