1.6 EL SIGLO XIX Y LAS NUEVAS MATEMÁTICAS
En el siglo XIX, los temas que se desarrollarían fueron las Geometrías no euclidianas, la Teoría de Números, la Geometría de Grupos y el Algebra en general, el Análisis con variables complejas; y en la segunda mitad de ese siglo aparecería la Lógica Matemática y la Teoría de Conjuntos.
Dos factores claves
Hay dos elementos de la primera parte del siglo XIX que ocuparon un papel esencial en la historia de las matemáticas:
por un lado, la construcción de números que no seguían lo esperable en ellos, los cuaterniones de William Hamilton (1805-1865); y,
por otro lado, las geometrías no euclidianas.
Estos dos resultados teóricos representaron un auténtico motor para sacudir el mundo matemático.
Los cuaterniones de Hamilton (dos libros condensan su obra: Lectures on Quaternions de 1853 y Elements of Quaternions de 1866, póstuma) eran números que no respetaban la propiedad de la conmutatividad, es decir, 
, lo que rompía con la concepción clásica o tradicional sobre las operaciones. William Kingdon Clifford (1845-1879) generalizaría los cuaterniones en lo que llamó bi-cuaterniones (1873-1876).
Por el otro lado, las geometrías no euclidianas abrían una interpretación para la geometría y para las matemáticas en general que parecía encontrar contradicción con la realidad física circundante. Como veremos, la idea central de las geometrías no euclidianas nacía de reconocer que uno de los axiomas de la geometría euclidiana clásica no se podía probar como una deducción directa de los otros axiomas que en esta geometría se daban. Al ser este famoso axioma, que se llamó axioma de las paralelas, un hecho independiente, se justificaba lógicamente la posibilidad de una proposición contraria al mismo; con un axioma contrario y los restantes axiomas euclidianos se podían construir geometrías diferentes. Los grandes creadores fueron Carl Gauss (1777-1855), Janos Bolyai (1802-1860) y Nikolai Lobachevsky (1793-1856). Sus contribuciones las estudiaremos con detalle más adelante.
Aunque el impacto de estos resultados fue extraordinario en la historia de todas las matemáticas del siglo XIX, no fue sino hasta el trabajo realizado por el alemán Bernhard Riemann, 1826-1866, (ya en la segunda parte del siglo XIX) que las geometrías no euclidianas serían integradas a las principales ejes de desarrollo de las matemáticas del siglo XIX. Algo así como que Riemann colocó a las geometrías no euclidianas en un marco teórico más amplio.
Antes de Riemann, sin embargo, se dieron intentos de generalización de la geometría clásica; aunque solo serían reconocidos después de la muerte de Riemann. Vale la pena citar el trabajo de Hermann Grassmann (Ausdehnungslehre, 1844), quien trabajó con espacios de 
dimensiones y cuyos resultados serían retomados décadas después para crear el análisis vectorial para espacios afines y métricos. También Arthur Cayley en 1843 había usado el concepto de espacio de 
dimensiones.
Geometría proyectiva
Un campo de la geometría que también posee importancia fue el estudio de las propiedades proyectivas de las figuras, lo que se suele llamar como la Geometría Proyectiva. Puede encontrarse trazos de ésta en Pascal y Desargues, y se puede señalar como referencia la obra desarrollada primeramente por Gaspard Monge (1746-1818), quien fue director de la Ecole Polytechnique en Francia y que, muchas veces, se caracteriza como el primer especialista moderno de la geometría. Monge publicó su libro Géométrie descriptive, que condensaba sus lecciones en la Ecole Normale entre 1794 y 1795, que utilizaba proyecciones.
Víctor Poncelet
Fue, sin embargo, un discípulo de Monge, Jean Victor Poncelet (1788-1867), quien realmente hizo una gran sistematización de estas propiedades proyectivas de las figuras (Applications d'analyse et de géométrie 1813-1814, Traité des propietés projectives des figures , 1822).
En Francia, Michel Chasles (1793-1880) continuó la obra de Poncelet (Traité de géométrie supériure, 1852).
En Alemania, Jakob Steiner (1796-1863) también hizo geometría proyectiva (Systematische Entwicklungen, 1832). Tiempo después, el alemán K. G. C. von Staudt (1798-1867) construyó la geometría proyectiva sin usar magnitudes ni múmeros (en su obra Geometrie der Lage, 1847).
Estos trabajos también tendrían un impacto importante en las matemáticas del siglo XIX.
Álgebra
Uno de los campos más desarrollados en el siglo XIX también fue el álgebra, y una de las grandes creaciones del álgebra fue la Teoría de Grupos, donde la figura ciñera es la del francés Evariste Galois (1811-1832).
Evariste Galois
Un conjunto de elementos forma un grupo con una operación si: el conjunto es cerrado bajo esa operación (operar dos elementos da otro del mismo conjunto), contiene un elemento neutro (
, para cada elemento existe un elemento inverso (
), y la operación es asociativa 
El conjunto puede estar formado de números, puntos, rectas y otras figuras, transformaciones (algebraicas o geométricas) y otros objetos. Las operaciones pueden ser aritméticas, algebraicas o geométricas. La fuerza de generalización que estos instrumentos matemáticos poseen es extraordinaria.
Galois, usando ideas que había mencionado el matemático también francés Joseph Louis Lagrange (1736-1813) y el italiano Paolo Ruffini (1765-1822), expresó las propiedades fundamentales de lo que se suele llamar el Grupo de Transformaciones de las raíces de una ecuación algebraica.
A partir de un trabajo sobre estos grupos, muchos de los problemas clásicos podían ser resueltos como, por ejemplo, la trisección del ángulo, la duplicación del ángulo, la solución de las ecuaciones cúbica y bicuadrática, así como la solución de ecuaciones algebraicas de diferentes grados.
Aunque la obra de Galois fue anterior a la de los británicos, sus ideas no tuvieron impacto hasta 1846 cuando se publicaron. Su influencia condujo también a la elaboración del concepto de cuerpo a través de resultados de los alemanes Richard Dedekind, Leopold Kronecker (1823-1891) y Ernst Eduard Kummer (1810-1893).
En el mundo británico, ya mencionamos los trabajos algebraicos de Hamilton y Clifford, también debemos mencionar que muchos de los resultados de los ingleses en el siglo XIX fueron en el álgebra y sus aplicaciones a la geometría; entre los nombres más relevantes que podemos citar están: Cayley, Sylvester y Salmon. Por ejemplo Cayley trató de dar una sistemática teoría de los invariantes de formas algebraicas, con simbolismo propio y y sus leyes (algo así como una contraparte algebraica de la geometría proyectiva de Poncelet); sus trabajos le permitieron integrar la geometría métrica dentro de la proyectiva. James Joseph Sylvester (1814-1897) obtuvo una teoría de los divisores elementales (1851) y una ley de la inercia de formas cuadráticas (1852). George Salmon (1819-1914) contribuyó esencialmente en la redacción de textos en geometría analítica y teoría de invariantes que fueron decisivos para muchas generaciones. La influencia anglosajona llegó a los Estados Unidos, lo que se aprecia en la obra de Benjamin Peirce (1809-1880).
No solo en el mundo anglosajón tuvieron impacto los algebristas británicos. También en Alemania, con matemáticos como Otto Hesse (1811-18749 , Siegfried Heinrich Aronhold 81819-1885), Alfred Clebsch (1833-1872) y Paul Gordan (1837-1912).
Geometría y álgebra
Buena parte de los trabajos en geometrías no euclidianas, geometría proyectiva y en álgebra y teoría de grupos, fue sintetizada de una manera extraordinaria por un gran matemático alemán: Felix Klein (1849-1925).
En 1872, Klein sistematizó la geometría usando la teoría de grupos en algo que se llamó el Programa de Erlangen. Una geometría era el estudio de las propiedades de figuras que se mantienen invariantes cuando se aplica un grupo de transformaciones. El asunto se puede poner así: al ampliar o reducir el grupo se pasa de una goemtría a otra. Se asocia, entonces, grupos de transformaciones y clases de geometrías. Un ejemplo: la geometría euclídea plana se asocia al grupo de transformaciones dado por las traslaciones y rotaciones en el plano (los objetos son las figuras del plano invariantes bajo este grupo de transformaciones); la geometría proyectiva se asocia a un grupo que se denomina precisamente proyectivo.
Felix Klein
Esta aproximación revolucionaria dominó la geometría hasta hace poco tiempo. La Teoría de Grupos permitía la síntesis de los trabajos algebraicos y geométricos de Monge, Poncelet, Gauss, Cayley, Clebsch, Grassmann y Riemann. Para que se tenga una idea, Klein demostró que las geometrías no euclidianas se podían concebir como geometrías proyectivas.
Debe mencionarse en todos estos resultados la colaboración de un gran matemático noruego: Sophus Lie (1842-1899), que con Klein juntos comprendieron la importancia del uso de los grupos; de hecho, mientras Klein enfatizó los grupos discontinuos, Lie lo hizo en los continuos.
Tal vez podamos decir que al igual que la Geometría Analítica en el siglo XVII integró la geometría clásica con métodos algebraicos desarrollados por los algebristas del Renacimiento y rescatando tradiciones medievales y árabes, Klein también integró esta vez resultados de la geometría del siglo XIX con el álgebra de la misma época. Estos vínculos entre álgebra y geometría, como también sucedería entre todas las diferentes disciplinas y campos de las matemáticas, se convertirían hasta hoy en día en una característica esencial de la matemática moderna.
La lógica
Dos asuntos plantearon el desarrollo de los métodos lógicos en las matemáticas del siglo XIX. Uno de ellos fue los problemas de rigor, las "lagunas'', que se encontraron en el desarrollo del Cálculo; esto condujo a una construcción más rigurosa de los métodos infinitesimales y de los números reales (especialmente los irracionales). Los trabajos de Bernard Bolzano (1781-1848), Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Karl Weierstrass (1815-1897) y Richard Dedekind (1831-1916), y hasta el mismo creador de la teoría de conjuntos Geor Cantor (1845-1918), se colocan en esta dirección.
Por otra parte, más por el lado algebraico (generalización de objetos, reglas operatorias, simbolismo) se encuentra los resultados de los británicos Augustus De Morgan (1806-1871) y especialmente el trabajo de George Boole, 1815-1864, (The Laws of Thought, 1854) que trató de construir una álgebra de la lógica, en la dirección de lo que había sido una idea de Leibniz: una characterica generalis, es decir: un lenguaje simbólico y operatorio para realizar el pensamiento. Los trabajos de Boole superan los de Leibniz (que ya habían intentado ser superados por diversos autores previos: Segner, J. Lambert, Ploucquet, Holland, De Castillon, Georgonne). Sus trabajos también van a servir como base para Jevons, el mismo De Morgan y el norteamericano Charles Sanders Peirce. De Morgan había establecido en su Formal Logic de 1847 que la lógica se refiere esencialmente a relaciones, al igual que Boole. Peirce extendería estos resultados en sus escritos entre 1870 y 1893, y Schröeder los sistematizaría. El énfasis en las relaciones era una consecuencia del flujo general que apuntalaba la axiomática y de una nueva aproximación hacia la matemática y la lógica. Peirce enfatizó los conceptos de "función proposicional'' y los cuantificadores. La conjunción de relaciones, clases, funciones proposicionales y cuantificadores abría una nueva etapa en la lógica y describía el panorama de las misma previo a un gran lógico alemán: Frege.
Estos trabajos motivaron en buena parte el proyecto logicista de Gottlob Frege que buscó toda su vida reducir las matemáticas a la lógica (Die Grundlagen de Arithmetik, 1884). Para buscar su cometido, Frege construyó el aparato simbólico más importante de la lógica desde Aristóteles (Begriffsshrift, 1879). En esa dirección se colocó durante bastantes años la obra del inglés Bertrand Russell (1872-1970); su libro escrito con Alfred North Whitehead (1861-1947), Principia Mathematica, es un clásico de la filosofía de las matemáticas y de la lógica.
Resulta intersante mencionar el trabajo en lógica matemática del italiano Giuseppe Peano (1858-1932), que buscaba -como Frege- un lenguaje formalizado para expresar las matemáticas (padre de símbolos como: 
contiene a
pertenece a
unión).
En una perspectiva diferente, pero dentro de la motivación de formalizar las matemáticas, se encuentra una parte de la obra del gran matemático alemán David Hilbert (1862-1943). Peano había ofrecido una fundamentación formal y axiomática del álgebra y el análisis, pero faltaba la geometría; Hilbert asumió esa tarea en su famoso libro Grundlagen der Geometrie (1899) Hilbert usó 21 axiomas para reconstruir el edificio de la geometría euclidiana.
El énfasis en los aspectos formales y axiomáticos, dio pie para una filosofía de las matemáticas que se denominó formalismo, y de la que Hilbert fue su principal exponente. Aunque el formalismo tenía cosas en común con el logicismo de Frege y Russell, había diferencias filosóficas de fondo.
David Hilbert
No sobra mencionar otra aproximación a estos intentos de fundamentación de las matemáticas: el intuicionismo, desarrollado esencialmente por el holandés L.E.J. Brouwer (1881-1966), que afirmaba que lo más importante para la naturaleza de las matemáticas era la intuición y no el lenguaje y la lógica. En el bando intuicionista estuvo uno de los colegas de Einstein en Zürich en 1913, y un gran matemático: Hermann Weyl (1885-1955). Toda esta temática ocupó un lugar importante en las primeras décadas del siglo XX.
