1.5 EN EL SIGLO XVIII

Los matemáticos europeos de estos siglos sobrepasaron la producción matemática antigua; esto en términos cuantitativos y, sobre todo, cualitativos: nuevas disciplinas y nuevos conceptos matemáticos se crearon en este período.

Intuición y aplicación en las matemáticas

En el siglo XVIII las matemáticas fueron aún todavía de carácter más cuantitativo y con mayor aplicación física. A pesar de la gran cantidad de resultados que se dieron, muchos historiadores de la ciencia consideran que también había un marasmo lógico en los fundamentos de la matemática que se hacía. El corazón de las matemáticas era el Cálculo y aunque éste había generado un gran progreso poseía muchas lagunas lógicas; los números irracionales, por ejemplo, no serían admitidos sino hasta principios del mismo siglo XIX, aunque los números negativos y los complejos no.

Los matemáticos del siglo XVIII se concentraron en el Cálculo y en sus aplicaciones a la mecánica. Las principales figuras fueron el mismo Leibniz, los hermanos Bernoulli, Jacques (1654-1705) y Jean (1667-1748), Euler (1707-1783), Lagrange (1736-1813) y Laplace (1749-1827). Aunque debe incluirse a los matemáticos franceses Clairaut (1713-1765), D'Alambert (1717-1783) y Maupertuis (1698-1759), los hermanos suizos Nicolaus (1695-1726) y Daniel Bernoulli (1700-1782) hijos de Jean.

Podemos decir que la mayor parte de las matemáticas y la física entre 1600 y 1900 estuvo asociada de alguna manera a los métodos establecidos por el Cálculo Diferencial e Integral. Estos han sido aplicados extraordinariamente en todo fenómeno que exija una medición tanto en mecánica, magnetismo, electricidad, gravitación, calor, luz, movimiento ondular.

El carácter aplicado que predominó en las matemáticas del siglo XVII se amplió especialmente durante el siguiente siglo. Esto era coincidente, además, con una demanda creciente hacia el uso de las ciencias en la vida social (en la producción). Los influjos de la economía, las técnicas o la vida social en general afectan e influyen en la práctica matemática. Debe reconocerse este tipo de factores a la hora de estudiar la historia de las ciencias. Pero debe tenerse cuidado en no establecer condicionamientos muy mecánicos o simples. Las capacidades humanas para la creación intelectual suelen distanciarse de los contextos materiales y sociales inmediatos, y dejar correr la imaginación y el razonamiento lógico muy lejos. En el caso de las matemáticas esto es también cierto. El estudio de propiedades abstractas de la realidad (una vez conceptualizadas) puede ampliarse al margen de la influencia directa de la realidad social o material.

Un balance

En menos de dos siglos los matemáticos europeos lograron sobrepasar con creces los límites de toda la producción matemática de la Antigüedad. Eso se explica sin duda por las diferencias en las sociedades y en el trabajo intelectual que existió entre ambos tipos de organización social. Es importante señalar esta diferencia en tanto expresa la existencia de un ritmo muy elevado en la producción científica y matemática que ha sido -desde entonces- decisivo para el progreso de la cultura y la sociedad occidental. Debe subrayarse, además, que no solo se amplió cuantitativamente el número de trabajos sino que hubo un progreso cualitativamente superior, tanto en la profundidad de los métodos como en la creación de nuevos conceptos y diferentes disciplinas matemáticas.

Los matemáticos del siglo XVII terminaron de establecer varios cambios fundamentales con relación a las matemáticas antiguas:

• Papeles diferentes para el álgebra y la geometría: del dominio en métodos y criterios de rigor basados en la geometría (en la Antigüedad), se pasó a darle relevancia al álgebra.

• Los resultados de las matemáticas dejaron de percibirse como simples idealizaciones de la experiencia y se empezó a favorecer --lentamente-- un tratamiento más abstracto: de la idealización inmediata a la construcción de conceptos y métodos.

• La introducción del Cálculo con métodos alejados de los estándares de rigor y deducción de la geometría clásica promovió el uso de procesos inductivos.

• La estrecha relación entre matemáticas y ciencias naturales condujo a una interdependencia y fusión que no permitía muchas distinciones entre ciencias y matemática.

Las matemáticas del siglo XVIII, a diferencia de las del siglo XVII, fueron esencialmente cuantitativas. Fue un siglo de un gran desarrollo matemático conectado a la evolución de las ciencias llamadas naturales. Configuraba, como veremos, una situación que podríamos caracterizar como contradictoria. Se tenía una gran producción matemática, un gran éxito en la capacidad de predicción en la ciencia de los resultados matemáticos y, al mismo tiempo, según muchos historiadores "un marasmo lógico en los fundamentos''. El centro del Análisis era el Cálculo y a pesar de la enorme oscuridad lógica, a pesar del uso "liberal'' de los números, éste experimentó un enorme desarrollo.

El Análisis

El más grande de los matemáticos del siglo XVIII fue, sin duda, el suizo Leonhard Euler y el más prolífico de todas las épocas: 886 libros y artículos, sobre cada uno de los campos de la matemáticas de su época.

Leonhard Euler

El trabajo de este gran matemático permite apreciar la diversidad de los usos matemáticos y aplicaciones que podía tener el Cálculo: ecuaciones diferenciales, geometría analítica y diferencial de curvas y superficies, series y cálculo de variaciones. En la física, Euler usó la mecánica analítica (la aplicación del Cálculo a la mecánica tradicionalmente geométrica). Calculó la perturbación de los cuerpos celestes en la órbita de un planeta y las trayectorias de proyectiles lanzados en medios con resistencia determinada. Estudió la propagación del sonido y la consonancia y disonancia musicales. Fue el único de los científicos del siglo XVIII que afirmó el carácter ondulatorio de la luz (y no corpuscular y analizó el calor como oscilación molecular). Euler describió con ecuaciones diferencialesel movimiento de un fluido (ideal) y aplicó su modelo a la circulación sanguínea.

Según el parecer de algunos historiadores: Euler hizo por el Cálculo infinitesimal de Newton y Leibniz lo que Euclides hicieron por la Geometría de Eudoxo y Teeteto, o Vieta por el álgebra de Al-Khoarizmi y de Cardano. Con Euler los resultados de Newton y Leibniz se integraron armónicamente al Análisis, concebido éste como el campo matemático que engloba el estudio de los procesos infinitos. La obra que esencialmente realiza esta precisión y ampliación del Cálculo infinitesimal fue Introductio in analysin infinitorum, publicada en 1748. En este libro la idea de función, que estuvo presente de forma intuitiva en sus predecesores es convertida por Euler en el concepto central del nuevo análisis. El concepto de función y las funciones algebraicas y trascendentes elementales ya habían sido introducidas en el siglo XVII. En la consideración de varios problemas clásicos, Leibniz, Jacques y Jean Bernoulli, L'Hôpital, Huygens y Pierre Varignon usaron funciones conocidas y construyeron muchas otras de mayor complejidad.

De la misma manera, en este siglo se desarrolló también el cálculo de funciones de 2 y 3 variables. Aunque Newton, Jean y Nicolaus Bernoulli habían realizado la diferenciación en funciones de 2 variables, la teoría fue plenamente desarrollada por varios matemáticos: Alexis Fontaine de Bertins (1705-71), Euler, Clairaut y D'Alembert. Entre 1744 y 1745, D'Alembert trabajando en dinámica extendió el cálculo de las derivadas parciales.

Los matemáticos franceses del siglo XVIII

Aparte de Jean D'Alembert (1717-1783), Alexis Claude Clairaut y Etienne Bézout (1730-1783), Francia tuvo una presencia muy importante en las matemáticas de la última parte del siglo XVIII, con personalidades vinculadas o afectadas, de una u otra forma, con la Revolución Francesa.

Los seis grandes matemáticos de ese período fueron Lagrange (1736-1813), Legendre (1752-1833), Laplace (1749-1827), Condorcet (1743-1794), Monge (1746-1818), y Carnot (1753-1823). Todos ellos destinaron algunos de sus trabajos al Cál-culo diferencial e integral.

Por ejemplo, Monge hizo contribuciones a la geometría analítica y diferencial. También Carnot trabajó en geometría y, por otro lado, Legendre hizo aportes al Cálculo, a la teoría de funciones, la teoría de números, y la matemática aplicada.

Probablemente, quien más lejos llegó de este grupo de franceses fue Lagrange, considerado muchas veces el matemático más profundo del siglo XVIII (con Euler). Lagrange creó lo que se llama el cálculo de variaciones.

Laplace realizó contribuciones decisivas a las probabilidades, y a la mecánica (en particular a la astronomía). Se ha considerado su libro Mécanique céleste (1799-1825, 5 volúmenes) la culminación de la teoría newtoniana de la gravitación universal. Laplace demostró que el sistema del mundo (descrito por la matemática newtoniana) era estable. Algo así como que no era necesaria la intervención divina cotidianamente para el funcionamiento del universo.

La amplia aplicación física de las matemáticas por parte de los matemáticos de este siglo originó expresiones como que las matemáticas eran solo un instrumento para la física (Laplace), o que la historia se describía como una transición de un siglo XVII de matemáticas a una era de mecánica (D'Alambert, Denis Diderot, 1713-1784). Sin embargo, también estaba la opinión (Lagrange) de que la mecánica llegaría a ser parte del Análisis.

Una síntesis

En el siglo XVII hubo desarrollos importantes en el álgebra, se inició la Geometría Proyectiva y también la Teoría de las Probabilidades, se creó la Geometría Analítica, y muchos asuntos de la Antigüedad clásica fueron abordados y resueltos. Lo más importante, sin embargo, sería la creación del Cálculo Diferencial e Integral.

Ya en el siglo XVIII el Cálculo ampliaría extraordinariamente los campos abiertos y generaría nuevos, por ejemplo: las Series Infinitas, el Cálculo de Variaciones, la Geometría Diferencial, las Ecuaciones Diferenciales, el Análisis de Funciones con variables complejas y muchas otras.

1.4 DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA AL CÁLCULO

En esta sección nos interesa reseñar una de los momentos más importantes en la historia de las matemáticas.

La Geometría Analítica

Una mención aparte y especial para nosotros en este libro merece la Geometría Analítica que, como sabemos, conecta los conceptos de la geometría con los del álgebra y viceversa; al decir de Descartes, la expresión de curvas por medio de relaciones algebraicas. Ya desde la Antigüedad esta vinculación se trató de plantear. Por ejemplo Menecmo, quien fue discípulo de Eudoxo, se supone que conocía algo de geometría analítica; aunque con las limitaciones impuestas al álgebra por los griegos es difícil que esto haya sido muy desarrollado. Sin embargo, Apolonio de Perga en su famosa obra Las Cónicas, y quien vivió alrededor de los años 262 y 190 a.C., usó rectas de referencia para puntos, también un diámetro y una tangente a la misma para expresar esos puntos; es decir, algo parecido a lo que en geometría analítica moderna hacemos cuando usamos los ejes de coordenadas. También Pappus y Omar Khayyam los usaron en su resolución de ecuaciones cúbicas.

Parte de la obra de Las Cónicas fue traducida por los árabes y fue introducida en Europa precisamente por Edmund Halley (1556-1742) quien fue un científico amigo de Newton.

Descartes

Muchos otros matemáticos hicieron algunos avances en esta relación entre álgebra y geometría durante esta época. Giovani di Casoli, Nicole Oresme (c. 1323-1382) y el mismo Galileo habían tratado de establecer representaciones gráficas de conceptos como los de tiempo, rapidez, distancia y velocidad; sin embargo, fue René Descartes quien dió el impulso definitivo en esta dirección a la geometría. Subrayemos que Descartes es considerado el primer filósofo moderno y, por eso mismo, debe interpretarse que la geometría analítica corresponde al espíritu de lo que ya es una nueva era en el desarrollo de la sociedad occidental.

René Descartes

La obra de Descartes es auténticamente revolucionaria. Podemos decir que el método que él proponía se reduce a tres pasos:

1- La expresión de un problema geométrico en forma algebraica.

2- Resolución de las ecuaciones algebraicas que corresponden al problema geométrico.

3- Construir o interpretar geométricamente lo que planteaba la solución.

Descartes se dice que buscaba liberar a la geometría del exceso de figuras, pero también buscaba darle sentido o significado al álgebra por medio de la geometría. Fue revolucionario Descartes al establecer que una curva se construye con solamente ofrecer una ecuación algebraica. Recordemos que en la Antigüedad para que una curva existiera era necesario que hubiera un procedimiento con regla y compás para poderla construir.

Fermat

Se le atribuye también la creación de la geometría analítica a Pierre de Fermat, quien escribió sobre estos temas antes incluso que Descartes hubiera publicado su obra seminal sobre el tema, pero que, desafortunadamente, fue publicada de manera póstuma posteriormente a la obra de Dercartes.

El Álgebra

Lo importante a subrayar acá es el uso de los métodos algebraicos. Podríamos decir que hasta el siglo XVII el álgebra estuvo subordinada a la geometría y a partir de este momento el rol se invirtió y, con ello, se dio un cambio sustancial en la historia de las matemáticas.

A pesar del impacto de la geometría analítica desarrollada por Descartes y Fermat, su repercusión no fue tan grande en esa época; fue hasta el trabajo de Gaspard Monge (1746-1818) y sus discípulos en la Escuela Politécnica Francesa, ya en el siglo XVIII y XIX, que llegó a tener la importancia, proyección, dinamismo e impacto que hoy reconocemos a la geometría analítica. Sin embargo, debemos decir que la geometría analítica fue decisiva para el desarrollo del Cálculo Diferencial e Integral, que constituyó una auténtica revolución en el pensamiento matemático.

Las matemáticas del siglo XVII

De manera general, podemos decir que durante el siglo XVII las matemáticas tuvieron un carácter muy aplicado, lo cual correspondía a una demanda en crecimiento del uso de las ciencias en la vida social, y a flujos e influjos en la economía y en las técnicas que afectaron los trabajos en las matemáticas; aunque no puede decirse de una manera mecánica y determinista que las demandas de la vida social y física fueron las que generaron los resultados matemáticos.

En el siglo XVII las ideas científicas se abrieron con gran intensidad. Gassendi (1592-1655) introdujo de nuevo una forma de la teoría atomista de Leucipo y Demócrito. Grimaldi (1618-1663) y después Newton obtuvieron resultados en la óptica y en el esclarecimiento de la naturaleza de la luz. Huygens hizo una descripción matemática de un funcionamiento ondulatorio de la luz. Torricelli (1608-1647), discípulo de Galileo, inventó el barómetro descubriendo la presión atmosférica y también el "vacío''. Es el siglo de Boyle con sus resultados sobre el vacío y la teoría de gases; también de Hooke, a quien se le atribuye haber sido el principal físico experimental antes de Faraday. Los resultados y las figuras científicas del XVII pueden seguir enumerándose pero, sin duda, es la obra de Newton la que culmina la llamada Revolución Científica.

La teoría newtoniana de la gravitación universal completó la destrucción del modelo cosmológico anterior. Con Newton, efectivamente, puede considerarse que una fase intelectual fue completada. En las etapas históricas siguientes nuevos saltos cualitativos hacia adelante en la ciencia van a demandar más condiciones económicas, técnicas, políticas y sociales.

Isaac Newton

El Cálculo

Con la creación del Cálculo infinitesimal va a completar los trabajos matemáticos que desde Eudoxo y Arquímedes en la Antigüedad hasta Kepler, Fermat y Descartes (entre muchos otros en la nueva época) se venían dando en busca de un método para abordar el "continuo''. El Cálculo infinitesimal representó el resultado matemático más decisivo del siglo XVII, que generaría un extenso territorio intelectual para los siglos siguientes no solo en las matemáticas sino en la ciencia en general. Ya sólo esto hubiera sido suficiente para inmortalizar a Newton, pero realizó otra hazaña intelectual: la mecánica celeste; es decir, la descripción del movimiento de los astros a partir de las leyes de la mecánica terrestre. Fue la fundición teórica de los resultados de Copérnico y Kepler con los de Galileo. No se trataba de un sistema filosófico, sino de una descripción matemática.

La obra que condensó sus extraordinarias contribuciones a la mecánica fue el famoso Philosophiae naturalis principia mathematica ("Principios matemáticos de la filosofía natural''), publicado en 1687. Es una de las joyas del pensamiento humano. En ella, donde aplica hasta cierto punto el Cálculo, formula con gran rigor matemático las leyes de Kepler sobre el movimiento planetario, las cuales habían sido establecidas de manera empírica. Newton demostró que estas leyes se deducían de la ley de gravitación de los cuadrados inversos:

La fuerza gravitacional entre dos masas es igual a una constante por el producto de las masas, dividido éste por el cuadrado de la distancia entre ellas.

Explicó el movimiento de los cuerpos celestes y de las mareas. También estableció los fundamentos de la teoría del movimiento de la Luna. Newton asumió un tratamiento axiomático y matemático, en el que asumía el espacio y el tiempo como absolutos.

El descubrimiento-construcción del Cálculo lo realizó entre 1665 y 1666 mientras estaba en su lugar de nacimiento en el campo para escapar de la peste que atormentaba Cambridge.

Newton construyó el Cálculo entre 1665 y 1666 mientras Leibniz lo hizo entre 1773 y 1776, pero fue Leibniz quien publicó primero sus resultados entre 1684 y 1686 y, luego, lo hizo Newton entre 1704 y 1736. Ambos hicieron sus contribuciones de manera independiente y con características propias, sin embargo se dio una polémica muy famosa, que duró décadas, sobre quién lo había encontrado primero.

Con el Cálculo se resolvieron problemas fundamentales que implicaban el uso de un concepto central: el límite. Tanto Newton como Leibniz usaron esta noción pero lo hicieron de una manera más bien intuitiva, física o geométrica. Una formulación más precisa y rigurosa tendría que esperar más de un siglo en la historia de las matemáticas.

Wilhelm Leibniz

Con la idea de "límite'' no solo se respondería a los problemas inmediatos con los que se enfrentaron los matemáticos de la Revolución Científica, sino a aquellos originados en la Antigüedad alrededor del infinito y la continuidad. Todos esos procesos matemáticos en los que se usó el término "indefinidamente'' hacían referencia al límite. Ya fuera que se planteara realizar sumas indefinidas de términos o subdivisión indefinida de una longitud, área o volumen, hay una relación con los métodos infinitos. Es la noción de límite a la que se apela cuando en el método de Exhausción se pasa del área de polígonos regulares inscritos en un círculo con lados, al área del círculo. O, también, cuando se puede dividir un área en un número infinito de rectas "indivisibles'', o cuando para calcular el área bajo la curva se construye rectángulos y, luego, este número se vuelve infinito o, lo que es igual, la base de los mismos "se va hacia el cero''.

Para el cálculo de áreas se retomó el espíritu del método de eshausción con aproximaciones al área por medio de figuras geométricas representadas analíticamente; los rectángulos sustituyeron los triángulos (o polígonos compuestos por triángulos) que se usaron anteriormente. El concepto de la integral posee su origen en estos objetivos. Debe subrayarse la existencia de una íntima relación entre Geometría Analítica y Cálculo. Aunque el cálculo de áreas, longitudes y volúmenes ocupó una historia más larga en las matemáticas, el cálculo de la tangente a una curva (planteado en el siglo XVII) fue decisivo y determinante para el desarrollo de los métodos El cálculo de la recta tangente y el de la velocidad instantánea se redujeron al cálculo de la derivada, lo que hoy reconocemos como un tipo particular de límite. Newton, incluso, consideró sus derivadas como velocidades. No podemos dejar de mencionar que la relación complementaria o inversa entre los procesos de la derivación y la integración fue uno de los resultados más interesantes y sorprendentes de esta temática.

1.3 RENACIMIENTO Y REVOLUCIÓN CIENTÍFICA

El Renacimiento significó un reencuentro con la cultura clásica antigua; pero esta vez no fue con la lógica formal o la especulación abstracta y no empírica que habían realizado los escolásticos, sino con algo fundamental: la relación con el mundo y la indagación práctica de la naturaleza, el sentido vital, el humanismo. Fue una época en la que todo se cuestionó y, con ello, se abrió un período extraordinario en la producción intelectual y cultural de la sociedad occidental.

Detalle de La Escuela de Atenas de Rafael

Con el Renacimiento, que arrancó en Italia y luego se extendió por otras partes del suelo europeo, comenzó una verdadera revolución de ideas y una nueva actitud ante la sociedad, la naturaleza y el hombre; revolución que afirmamos constituye uno de los principales fundamentos del mundo moderno.

El reencuentro con la Antigüedad clásica fue importante, pero no fue el único factor que pesó; diversas condiciones económicas, políticas y sociales fueron un auténtico caldo de cultivo para poder potenciar los resultados cognoscitivos de la Antigüedad que "reentraban'' en el mundo occidental.

Matemáticas renacentistas

El Renacimiento no produjo grandes resultados en matemáticas, lo que no era el caso en otras partes de la vida cultural, por ejemplo en la literatura y el arte. Pero la realidad es que en esta época se estaba logrando crear la infraestructura para dar el salto que se realizó en el siglo XVII y que podemos sintetizar con el nombre de Revolución Científica.

De esta época, vienen a nuestra mente los nombre de algunos matemáticos: Nicolás de Cusa (1401-1464), Regiomontano (1436-1476), Luca Pacioli (1445-1514). También es necesario mencionar que los importantes trabajos en el álgebra (que como veremos serían fundamentales en el nuevo periodo) estuvieron asociados a los italianos Hierónimo Cardano (1501-1576), y Niccolo Tartaglia (c. 1500-1557). Otros matemáticos de la época fueron: Robert Recorde (1510-1558), Georg Rheticus (1514-1576), Pierre de la Ramée (1515-1572), Johannes Werner (1468-1522), Albrecht Dürer (1471-1528), Gerard Mercator (1512-1594) y Francesco Maurolico (1494-1575).

Las nuevas ideas

Los cambios que se dieron en este periodo de la historia fueron extraordinarios. En lo que se refiere a los métodos de la ciencia fueron de fundamental impacto las ideas de Francis Bacon (1561-1626), René Descartes (1596-1650) y de Galileo Galilei (1564-1642).

Con su trabajo se apoyó el desarrollo de los métodos experimentales y empíricos, y el uso de descripciones matemáticas y mecánicas en la comprensión de la naturaleza.

Los nuevos métodos se enfrentaron a las ideas del viejo orden, escolástico y aristotélico, y en un principio se orientaron especialmente contra la cosmología geocéntrica dominante (la Tierra el centro del universo).

La teoría heliocéntrica (los planetas giran alrededor del Sol) de Copérnico (1473-1543), que poseía antecedentes en la misma Antigüedad, fue defendida radicalmente por Galileo, integrando no solo el marco teórico de Copérnico sino también los resultados de los astrónomos Tycho Brahe (1546-1601) y Johannes Kepler (1571-1630). El combate que libró este gran científico con las ideas e instituciones dominantes (que le costó condena y castigo por la Inquisición) se convirtió en un impulso extraordinario en la construcción de la nueva ciencia.

El debate con relación a los métodos de la ciencia residía en que para los escolásticos las "verdades'' se encontraban en la revelación divina y no en el ejercicio de la experiencia y la razón. Fueron muy pocos los intentos antes del Renacimiento por acudir a la experiencia o a procedimientos experimentales.

Galileo Galilei

Galileo, además de su lucha por abrir espacio al heliocentrismo, contribuyó notablemente en la afirmación de la experimentación empírica y, especialmente, en el uso de las matemáticas (cuantitativas) para la descripción del mundo circundante. De la misma manera, el filósofo inglés Bacon fue un verdadero profeta de la ciencia empírica, y Descartes, filósofo y matemático francés, además de subrayar el papel de las matemáticas, fue un abanderado por una explicación mecanicista del universo.

La Revolución Científica

Para la revolución intelectual que se dio en las ciencias y las matemáticas del siglo XVII fue necesaria la matemática griega y árabe, pero además el desarrollo de ciertas ciencias empíricas y algunas técnicas nuevas. Tampoco puede decirse que las matemáticas del Renacimiento y el énfasis que se le dio al álgebra y a la aritmética fueran producto exclusivo del influjo griego o de los mismos trabajos árabes; las tradiciones medievales realizadas en ciudades italianas y germanas durante la época medieval, también, jugaron su papel.

Durante el Renacimiento, las matemáticas tuvieron aplicación en varias áreas: desde la contabilidad, la cartografía hasta la agrimensura, el arte y la óptica.

Durante esta época hubo un interés por las obras griegas de cierta complejidad teórica, pero esto no fue muy significativo; podemos decir que obras de Apolonio, Arquímedes o de Pappus (fl.c. 320 d. C.) no habían sido todavía traducidas al latín durante esta época. Tampoco la geometría tuvo mucho desarrollo pero, como hemos dicho antes, lo fundamental no estaba tanto en los resultados como en la actitud que se había abierto hacia la realidad y hacia los métodos del conocimiento.

Ya en el siglo XVII, la Revolución Científica buscó de-sarrollar métodos matemáticos y científicos apropiados para poder integrar una gran colección de resultados en la física y en la astronomía que se habían estado generando.

Los límites de la geometría clásica

Para que se tenga una idea de lo que significaba esta revolución en las matemáticas conviene que hagamos una breve digresión sobre la geometría clásica. Los límites que ésta tuvo se debieron esencialmente a dos características:

• Por un lado: los griegos antiguos establecieron que las construcciones geométricas y la geometría en general tenían que hacerse con base en la regla y el compás, lo cual restringía extraordinariamente los resultados geométricos. De la misma manera, la geometría era estática, las figuras que se dibujaban eran producto de los procedimientos con regla y compás que se habían establecido y, salvo en algunas excepciones importantes y significativas, el grueso se realizaba de esa manera.

• Por otro lado: las limitaciones en el álgebra, también, hacían que la geometría no tuviera una interrelación que pudiera potenciar sus posibilidades.

  
  

Entonces: en los tiempos de una sociedad emergente (como la europea del Renacimiento del siglo XVII), todo conducía a un replanteo del tipo de geometría que se hizo en la Antigüedad, y no solo de la geometría sino, también, de las matemáticas en general.

Consideremos un ejemplo: uno de los temas claves de la historia de las matemáticas es el de los métodos infinitesimales que constituyen la base del Cálculo Diferencial e Integral. En la Antigüedad griega se trabajó con los conceptos de infinito y continuidad que son los que están a la base del Cálculo.

Obras de Eudoxo y de Arquímedes en esa dirección son pioneras y constituyen, también, una muestra de la calidad de pensamiento que se llegó a tener en esta fase de la historia de la humanidad, sin embargo, la geometría euclidiana (que ocupó un lugar tan importante en la historia de las matemáticas durante siglos y siglos) poseía limitaciones que le impedían integrar teóricamente los métodos infinitesimales. Excluía, por ser esencialmente estática, el tiempo en los fenómenos físicos que trataba de describir.

Los procesos cinemáticos no podían ser captados por la geometría tradicional. Incluso, curvas como la espiral de Arquímedes, la cuadratiz de Hippias o la conchoide de Nicomedes, no podían ser integradas por esta geometría clásica porque éstas curvas estaban definidas en términos de movimiento.

Los métodos de Pappus tampoco podían integrarse y, por supuesto, no podía integrarse en ese marco conceptual el movimiento de los cuerpos físicos, los cambios en el espacio y el tiempo, la variación de las cantidades: asuntos fundamentales para los matemáticos y científicos del siglo XVII.

Proyectiles, detalle de una pintura de 1648

Motivados por problemas planteados por las ciencias físicas y por la vida social durante los siglos XVI y XVII, los matemáticos y científicos buscaron un nuevo enfoque y nuevos métodos para abordar los problemas; ahí nació precisamente el Cálculo Diferencial e Integral, que tuvo una repercusión extraordinaria en la historia de las matemáticas y en la geometría.

Los logros de la Revolución Científica

El siglo XVII fue una revolución científica en muchos campos, pero esencialmente en las matemáticas y en la astronomía. Podemos tener una idea de lo que esto significó para las matemáticas cuando citamos algunas de las principales obras de la época:

• la Geometría Analítica de Descartes y Pierre de Fermat (1601-1665),

• el mismo Cálculo de Newton y Wilhelm G. Leibniz (1646-1716),

• el Análisis Combinatorio y la Teoría de las Probabilidades que desarrollaron Fermat y Blaise Pascal (1623-1662),

• la Aritmética superior de Fermat, la Dinámica de Galileo y de Isaac Newton (1642-1727) y

• la Gravitación Universal de Newton,

• la Geometría Proyectiva de Gerard Desargues (1593-1662) y Pascal, y hasta

• los principios de la Lógica Simbólica con Leibniz.

1.2 EN LA EDAD MEDIA

Se suele considerar la Caída de Roma en el año 476 como el inicio de la Edad Media, y el año 1453, con la Caída de Constantinopla en manos turcas, su final. Se trata de una demarcación en esencia política.;, para la historia de las matemáticas o de la ciencia en general otras fechas sería mejores, pero vamos a seguir la división clásica por propósitos didácticos.

China: una cultura que contribuyó a las matemáticas medievales

Es necesario, sin embargo, hacer una advertencia: el grueso de la historia de las matemáticas medievales no fue exclusividad europea; más bien fue el resultado de varias civilizaciones: árabe, india, china, bizantina (Imperio Romano de Oriente) y lo que quedaba del Imperio Romano de Occidente. Cada civilización poseía diferentes lenguas. No vamos en este pequeño libro a analizar más que una de esas culturas, pero nos interesa resaltar el marco global diverso de esta evolución histórica. Esto es importante porque para muchos asuntos de esta época la mejor comprensión se logra solo si se estudian los contactos e interrelaciones culturales que existieron.

Alrededor del siglo XII y siglos previos la sociedad europea fue esencialmente una colección de pueblos aislados y de poco nivel cultural, con la Iglesia Católica como albacea intelectual. Culturalmente durante todo este período no existió mucha relación con la mayor parte del pensamiento clásico griego, distancia que ya se había establecido desde el mismo Imperio Romano.

El Taj Mahal, del periodo indoislámico, se empezó a construir en 1628

Durante siglos, la enseñanza, el aprendizaje, el conocimiento escaso que se había rescatado de las culturas griega y romana, estuvieron asociados a la Iglesia Católica y, sobre todo, a las necesidades que ella tenía (como, por ejemplo, en los servicios religiosos y la lectura de los libros sagrados). El latín fue escogido como idioma oficial de la Iglesia, por eso durante todo este período en la enseñanza como en el intercambio de conocimiento fue el latín la lengua que se usó.

Debe decirse que en toda esta época no había mucha matemática disponible, aunque en el currículo educativo para las pocas escuelas que hubo se le dio cierto énfasis a las matemáticas. Por ejemplo, el modelo educativo estaba formado por lo que se llama el cuadrivium y el trivium. El primero estaba constituido por geometría, aritmética, astronomía y música. El trivium: por retórica, gramática y dialéctica . Sin embargo, como hemos dicho, el nivel matemático era bajo, apenas una aritmética y una geometría muy elementales.

La razón fundamental del bajo nivel de las matemáticas y la ciencia era la ausencia de factores que estimularan el de-sarrollo del conocimiento. Para la Iglesia de esos tiempos la verdad y las fuentes y criterios de la misma sólo se encontraban en la revelación divina, y los estudios tenían que orientarse hacia la lectura y análisis de los textos sagrados, donde se suponía se encontraban la verdad y el conocimiento. En ese sentido, métodos empíricos o experimentales estaban prácticamente excluidos para la investigación del mundo circundante.

Como los temas principales de reflexión y análisis eran el pecado, el temor al infierno, la salvación o cómo ascender al cielo, el estudio del mundo físico real no solo se consideraba fuera de los fines de la educación y el conocimiento por parte de la Iglesia, sino que, muchas veces, era considerado algo estéril y, en ocasiones, hasta herético.

Debe advertirse que el término "Edad Media'' convoca en realidad diferentes periodos históricos, circunstancias culturales heterogéneas, y resultados históricos que sería mejor separar o distinguir. Hubo auténticas etapas "oscuras'' cultural y socialmente, y otras con importantes realizaciones espirituales; hubo regiones cultas y otras muy atrasadas. Cohabitaron diferentes sistemas económicos, políticos y sociales y puede decirse que toda la época estuvo llena de importantes contradicciones culturales. Al igual que dominó un contexto nada propicio para las ciencias y las matemáticas -como ya señalamos-, de la Edad Media son las primeras universidades "modernas'', desarrollos urbanos novedosos, el progreso de métodos y técnicas agrícolas, y de transporte, etc. Nos resulta más apropiado, entonces, un enfoque "prudente'' que parta de esta diversidad y que señale algunas tendencias importantes en su devenir social y cultural.

El "regreso'' de los griegos

La forma de vida que dominó durante todos estos siglos, empezó a sentirse afectado alrededor del siglo XII por el descubrimiento por parte de los europeos de las grandes contribuciones en ciencias, matemáticas, literatura y arte, realizados en la Grecia Antigua. Fue a través del comercio y diversos tipos de viajes que tomaron contacto con obras que habían sido conservadas, traducidas e incluso ampliadas por los árabes.

Los trabajos de la Antigüedad griega fueron retomados por los intelectuales europeos y religiosos de la época, creando lo que se suele llamar la Escolástica; en síntesis podemos decir que se trató de establecer una unidad entre el pensamiento del gran filósofo de la Antigüedad Aristóteles (c.384-322 a.C.), y las ideas y doctrinas de la Iglesia Católica. A pesar de la vinculación con el pensamiento griego antiguo y los resultados de aquella gran cultura, los dirigentes espirituales de la época no pusieron sus énfasis en los aspectos naturalistas o más relacionados con la indagación empírica, sino en los aspectos, digamos, más metafísicos: en la lógica y en las premisas cosmológicas que menos entraban en contradicción con los dogmas establecidos. Por eso, a pesar de que se lograron algunos resultados de interés en ciencias y en matemáticas, éstos no fueron de una gran trascendencia. La situación sólo cambiaría bajo la acción de importantes transformaciones sociales, culturales y políticas que se suelen asociar con los términos de Renacimiento y, también, de Revolución Científica.

Alrededor de esta época se conocen algunos resultados matemáticos asociados a los nombres de Leonardo de Pisa (c. 1170-1250) y Nicole Oresme (c.1323-1382).

Los árabes

Antes de que hablemos un poco más del Renacimiento y de la Revolución Científica, expresemos algunas consideraciones sobre el influjo árabe en la historia del pensamiento occidental, el cual normalmente no es ampliamente divulgado en los libros de historia y los textos que usamos en nuestras escuelas primarias y secundarias.

Los árabes eran un conjunto de pueblos nómadas que vivían en lo que hoy es la Península Arábiga, que bajo el liderazgo de un gran dirigente religioso llamado Mahoma constituyeron un extraordinario imperio en el Mediterráneo. En el año 632 d.C. el Imperio Arabe limitaba con la India y España, incluía el norte de Africa y el sur de Italia, mientras que Europa era apenas un grupo de pueblos esencialmente atrasados y aislados. Los árabes construyeron una extraordinaria civiliza-ción que cultivó ciencias, artes e incluso promovieron una atmósfera cultural, social y política bastante flexible y tolerante con relación a las religiones y a los pueblos alrededor del Mediterráneo. Los árabes, por lo menos hasta el siglo XV, constituyeron el principal centro de cultura, educación, y ciencias de toda la región. El fundamento básico de su desarrollo cultural estuvo asociado al conocimiento griego de la Antigüedad, a través directamente de fuentes griegas en versión siria o hebrea. Ellos habían tomado contacto con lo que quedó del mundo griego en Bizancio, lo que se suele llamar el Imperio Romano de Oriente, a la vez que de Egipto y escuelas sirias de Edessa, Damasco y Antioquía; aunque también tuvieron contacto con obras conservadas por los cristianos nestorianos en Edessa.

Al-Khoarizmi

Solo para mencionar un ejemplo, debemos decir que en el caso de las matemáticas su papel fue esencial por la relevancia que le dieron al álgebra y a la aritmética. Los griegos antiguos habían geometrizado el álgebra y la aritmética debido a los problemas que encontraron con los números irracionales y con algunas paradojas numéricas. Las debilidades griegas hicieron que se restringieran las posibilidades de desarrollo de la misma geometría; aunque los más afectados fueron el álgebra y la aritmética. Los árabes usaron a diestra y siniestra los números irracionales, al igual que los hindúes. La notación posicional en base 10 y los números negativos fueron introducidos en Europa por el influjo hindú y árabe.

Podemos citar el nombre de dos insignes matemáticos árabes que han quedado guardados en nuestra cultura: Mohamed ibn Al-Khoarizmi (c.825 d.C.) y Omar Khayyam (c.1038-1123).

La principal influencia árabe podemos decir que empezó a tener su impacto en el mundo europeo sobre todo a partir del mismo siglo XII, cuando representó ese extraordinario puente entre los intelectuales europeos y la Antigüedad griega. En muchas ocasiones, las primeras versiones que recibieron los europeos de los textos clásicos de la Antigüedad (tanto en matemáticas, medicina, química y otras áreas del conocimiento y las técnicas) fueron textos y obras traducidos por los islámicos al arábigo.

Al describir la historia de las matemáticas lo adecuado sería ofrecer una visión integral que incorporara las contribuciones matemáticas de otras culturas importantes además de la occidental; sin embargo, no es éste nuestro propósito en la presente reseña orientada a la comprensión de la creación de las geometrías no euclidianas. Así pues, vamos a comenzar este libro con el establecimiento de una periodización histórica, en general en concordancia con la historia de la sociedad occidental.

• Una primera etapa podemos decir que fue la greco-romana, donde la fase griega fue más sustantiva y significativa para las ciencias y las matemáticas.

• Una segunda etapa: la época medieval, dominada esencialmente por una atmósfera cultural poco propicia para el progreso de las ciencias y, por ende, un escaso desarrollo social y científico.

• Una tercera etapa: el Renacimiento, donde lo fundamental fue un cambio de actitud frente al conocimiento y frente a la vida.

• Una cuarta etapa fue la Revolución Científica en el siglo XVII y, si se quiere, parte del siglo XVIII.

• Podemos decir que una quinta etapa la constituye el trabajo realizado por los matemáticos del siglo XVIII y parte del XIX, cuya característica esencial fue el desarrollo de los temas y métodos matemáticos generados en la revolución matemática y científica del XVII, con especial énfasis en trabajos relacionados con el Cálculo Diferencial e Integral.

• Una sexta etapa se desarrolla en el siglo XIX, donde los elementos significativos fueron el desarrollo del álgebra y en particular de la teoría de grupos, la geometría proyectiva, las geometrías no euclidianas y la rigorización del análisis y las matemáticas en general.

Se puede decir que en algún momento en esta última etapa emerge la matemática moderna que llega hasta nuestros días. Es una decisión algo convencional el establecer los límites finales de una sexta etapa y el inicio de una sétima, con toda precisión, porque las principales tendencias que todavía dominan las matemáticas, de alguna forma, fueron planteadas y desarrolladas durante el mismo siglo XIX.

En este capítulo no ponemos énfasis en los resultados propiamente matemáticos sino, más bien, en lo aspectos históricos generales que nos permitan ubicar el trabajo de los matemáticos. Es decir, no hay detalles matemáticos solo descripción de fases y características históricas globales de interés especial para la comprensión del lugar intelectual que ocupan las geometrías no euclidianas.

1.1 EN LA ANTIGÜEDAD GRIEGA

Los primeros desarrollos de la geometría y, en general, de las matemáticas podemos decir que se encuentran alrededor de la cultura helénica, en la Grecia Antigua. Esta cultura fue una base esencial de la civilización occidental.

Thales y Pitágoras

Los primeros nombres de matemáticos que vienen a nuestra mente son los de Thales de Mileto (circa 625-545 a.C.) y Pitágoras de Samos (c. 580-500 a.c.), aunque no se sabe con exactitud cuáles son los resultados matemáticos que realmente obtuvieron. Probablemente, y a diferencia de otras obras como las de Platón (c. 429.348 a.C.) o Herodoto, no existen obras específicas que nos den certeza sobre sus trabajos y resultados.

En el caso de Pitágoras, que estableció una escuela científica y religiosa, ni siquiera se puede decir si los resultados que se le atribuyen son suyos o de sus discípulos y correligionarios.

En general, con relación a todas las obras de la Antigüedad Clásica es muy difícil saber con precisión el de-sarrollo histórico y las características específicas del mismo pues mucho se ha perdido a lo largo de tantos siglos. No obstante, podemos establecer algunas ideas y concensos en torno a este momento de las matemáticas griegas.

Un primer detalle: tanto Thales como Pitágoras tuvieron influencia de las civilizaciones del bronce, grandes culturas que dominaron el mundo conocido durante muchos siglos. Es Thales quien se supone que inició la geometría deductiva, y a quien se le atribuye el teorema de que un ángulo inscrito en una circunferencia es recto, y, también, que el círculo es dividido en dos partes iguales por un diámetro.

Egipto: una de las civilizaciones del Bronce

Podemos recordar que Thales fue miembro de una famosa escuela de pensadores que trataron de ofrecer una interpretación naturalista sobre la realidad, la Escuela Jónica. Se asegura que esta escuela constituye el primer eslabón en el desenvolvimiento de la cultura griega.

Los pitagóricos establecieron una doctrina importante sobre la naturaleza de los números: ellos consideraban a los números como el fundamento del universo; les daban a los números un significado abstracto. Para Pitágoras, cada cosa es un número específico y, por supuesto, diferentes cosas son representadas por diferentes números.

Pitágoras

Periodo Alejandrino

Una nueva época en la civilización griega comenzó a partir de la conquista realizada por los macedonios, un pueblo del norte de Grecia; se dice que los macedonios destruyeron la civilización griega clásica y generaron la apertura de una nueva fase en la historia griega. La conquista macedonia comenzó con Filipo II alrededor del año 352 a.C., de hecho Atenas fue derrotada en el 338 a.C.; sin embargo, quien más huella dejaría en la historia de la humanidad fue Alejandro El Grande, precisamente hijo de Filipo. Alejandro conquistó Grecia, el Cercano Oriente, Egipto y llegó hasta la India; sin embargo, murió muy pronto y su gran imperio se dividió en tres partes. Una de las partes que más importancia tendría para el desarrollo de Occidente y, en particular, de las ciencias, las técnicas y la matemática, fue el llamado Imperio de los Ptolomeos, cuya ciudad más importante llevó el nombre de Alejandría.

Eudoxo

Antes de la nueva fase alejandrina, debemos mencionar el trabajo de Eudoxo (c.408-355 a.C.) que nació en Cnido alrededor del año 408 a.C. Este fue uno de los matemáticos más importantes de toda la cultura griega. Eudoxo se supone fue discípulo de Arquitas (fl.c.400-360 a.C.), en Tarento; y también formó parte de la Academia de Platón. Es muy conocido por haber desarrollado el llamado método de exhausción , para aproximar áreas geométricas.

Es interesante mencionar que Eudoxo evitó considerar los números irracionales como números; evitó dar valores numéricos a longitudes de segmentos de recta, tamaño de ángulos y a otras magnitudes así como las razones entre ellas. Esto implicó una drástica separación entre geometría y aritmética, y un cambio en la orientación anterior que daba un énfasis al número como concepto central (visión pitagórica).

Euclides y Apolonio

Ya en pleno período alejandrino, se suele citar los nombres de Euclides (fl.c.300 a. C.) y de Apolonio de Perga (c.262-190 a.C.), aunque el trabajo de Apolonio se dice que posee el espíritu del período anterior.

Euclides es bien conocido por un famoso libro llamado Elementos, cuya influencia en la historia ha sido extraordinaria, precisamente porque sintetizó, resumió y sistematizó todo el conocimiento matemático previo y, en particular, a través de un método que echaba mano de la lógica: la axiomática. Ya hablaremos de Euclides en los siguientes capítulos. Ahora solo nos interesa colocar su contribución en el marco histórico que describimos.

Conjunto de puntos cuya distancia de un punto fijo es un múltiplo de su distancia de otro punto fijo

Arquímedes

La figura matemática más importante de toda la época podemos decir que fue Arquímedes (c.287-212 a.C.), quien estudió en Alejandría; aquel centro del Imperio de los Ptolomeos que fue una base para la cultura y el aprendizaje en el mundo griego.

Además del cálculo de áreas y volúmenes, aproximó el número , y obtuvo grandes resultados en hidrostática, astronomía, y mecánica.

Se afirma que tuvo relación con discípulos de Euclides precisamente en Alejandría y algunos de los detalles de su vida son conocidos por medio de una historia escrita por el famoso Plutarco, 45-120 d.C., (Vidas paralelas: Marcellus), acerca de un general romano llamado Marcelo.

Arquímedes

Algunas características de la época

Por razones que no vamos a desarrollar aquí, la matemática griega, a pesar de su grandeza, tuvo importantes limitaciones: poca relevancia del álgebra y la aritmética (podemos decir que existió un exceso de geometrización de las matemáticas) y una geometría limitada por reglas muy rígidas desprendidas de la construcción exclusiva con regla y compás.

Se afirma que pesó en todo esto el descubrimiento de los números irracionales, que enfrentaron la visión dominante pitagórica que afirmaba a los números enteros y racionales como fundamento del universo.

Otros asuntos como las paradojas de Zenón (c. 450 a.C.) también jugaron un papel en las características específicas de las matemáticas griegas.

La muerte de Arquímedes por un soldado romano

Los romanos

Por diversas razones, el mundo griego fue derrotado por Roma y se creó una nueva fase en el Mediterráneo gobernada por la influencia de los habitantes de la Península Italiana.

Los romanos dejaron su impronta en la historia occidental, pero, en pocos siglos, a eso del V siglo D.C., habían entrado en una plena decadencia.

Durante la época romana si bien se dieron progresos con relación a la organización política y jurídica, a los medios de transporte y distribución, para la cultura no representó una gran victoria: los trabajos en ciencias, matemáticas y en técnicas fueron prácticamente congelados; es decir: un gran retroceso durante siglos para el desarrollo del conocimiento.

Símbolos matemáticos

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Genéricos

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
=	igualdad	igual a	todos
	x = y significa: x y y son nombres diferentes que hacen referencia a un mismo objeto o ente.
	1 + 2 = 6 − 3
≔ ≡ :⇔	definición	se define como	todos
	x := y o x ≡ y significa: x se define como otro nombre para y (notar, sin embargo, que ≡ puede también significar otras cosas, como congruencia) P :⇔ Q significa: P se define como lógicamente equivalente a Q
	cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)); A XOR B :⇔ (A ∨ B) ∧ ¬(A ∧ B)

Aritmética

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
+	adición	más	aritmética
	4 + 6 = 10 significa que si a cuatro se le agrega 6, la suma, o resultado, es 10.
	43 + 65 = 108; 2 + 7 = 9
−	substracción	menos	aritmética
	9 − 4 = 5 significa que si 4 es restado de 9, el resultado será 5. El símbolo 'menos' también se utiliza para denotar que un número es negativo. Por ejemplo, 5 + (−3) = 2 significa que si 'cinco' y 'menos tres' son sumados, el resultado es 'dos'.
	87 − 36 = 51
× · *	multiplicación	por	aritmética
	significa que si se cuenta siete veces seis, el resultado será 42.
÷ /	división	entre	aritmética
	significa que si se hace seis pedazos uniformes de cuarenta y dos, cada pedazo será de tamaño siete.
	24 / 6 = 4
∑	sumatoria	suma sobre ... desde ... hasta ... de	aritmética
	∑k=1n ak significa: a1 + a2 + ... + an
	∑k=14 k² = 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30
∏	producto	producto sobre... desde ... hasta ... de	aritmética
	∏k=1n ak significa: a1a2···an
	∏k=14 (k + 2) = (1 + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360

Lógica proposicional

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
⇒ →	implicación material o en un solo sentido	implica; si .. entonces; por lo tanto	lógica proposicional
	A ⇒ B significa: si A es verdadero entonces B es verdadero también; si B es verdadero entonces nada se dice sobre A. → puede significar lo mismo que ⇒, o puede ser usado para denotar funciones, como se indica más abajo.
	x = 2 ⇒ x² = 4 es verdadera, pero 4 = x² ⇒ x = 2 es, en general, falso (ya que x podría ser −2) / tal que ejemplo x/y se lee x tal que y
⇔ ↔	doble implicación	si y sólo si; sii[1]	lógica proposicional
	A ⇔ B significa: A es verdadera si B es verdadera y A es falsa si B es falsa.
	x + 5 = y + 2 ⇔ x + 3 = y
∧	conjunción lógica o intersección en una reja	y	lógica proposicional, teoría de rejas
	la proposición A ∧ B es verdadera si A y B son ambas verdaderas; de otra manera es falsa.todo es verdadero de los valores
	n <>n > 2 ⇔ n = 3 cuando n es un número natural
∨	disyunción lógica o unión en una reja	o	lógica proposicional, teoría de rejas
	la proposición A ∨ B es verdadera si A o B (o ambas) son verdaderas; si ambas son falsas, la proposición es falsa.
	n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 cuando n es un número natural
¬ /	negación lógica	no	lógica proposicional
	la proposición ¬A es verdadera si y sólo si A es falsa. una barra colocada sobre otro operador es equivalente a un ¬ colocado a la izquierda.
	¬(A ∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B); x ∉ S ⇔ ¬(x ∈ S)

Lógica de predicados

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
∀	cuantificación universal	para todos; para cualquier; para cada	lógica de predicados
	∀ x: P(x) significa: P(x) es verdadera para cualquier x
	∀ n ∈ N: n² ≥ n
∃	cuantificación existencial	existe por lo menos un/os	lógica de predicados
	∃ x: P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.
	∃ n ∈ N: n + 5 = 2n
∃	cuantificación existencial con marca de unicidad	existe un/os único/s	lógica de predicados
	∃ x: P(x) significa: existe un único x tal que P(x) es verdadera.
	∃ n ∈ N: n + 1 = 2
:	reluz	tal que	lógica de predicados
	∃ x: P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.
	∃ n ∈ N: n + 5 = 2n

Teoría de conjuntos

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
{ , }	delimitadores de conjunto	el conjunto de ...	teoría de conjuntos
	{a,b,c} significa: el conjunto consistente de a, b, y c
	N = {0,1,2,...}
{ : } { }	notación constructora de conjuntos	el conjunto de los elementos ... tales que ...	teoría de conjuntos
	{x : P(x)} significa: el conjunto de todos los x para los cuales P(x) es verdadera. {x P(x)} es lo mismo que {x : P(x)}.
	{n ∈ N : n² <>
∅ {}	conjunto vacío	conjunto vacío	teoría de conjuntos
	{} significa: el conjunto que no tiene elementos; ∅ es la misma cosa.
	{n ∈ N : 1 < n² <>
∈ ∉	pertenencia de conjuntos	en; está en; es elemento de; es miembro de; pertenece a	teoría de conjuntos
	a ∈ S significa: a es elemento del conjunto S; a ∉ S significa: a no es elemento del conjunto S
	(1/2)−1 ∈ N; 2−1 ∉ N
⊆ ⊂	subconjunto	es subconjunto de	teoría de conjuntos
	A ⊆ B significa: cada elemento de A es también elemento de B A ⊂ B significa: A ⊆ B pero A ≠ B
	A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ R
∪	unión conjunto-teorética	la unión de ... y ...; unión	teoría de conjuntos
	A ∪ B significa: el conjunto que contiene todos los elementos de A y también todos aquellos de B, pero ningún otro.
	A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B
∩	intersección conjunto-teorética	la intersección de ... y ...; intersección	teoría de conjuntos
	A ∩ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos que A y B tienen en común.
	{x ∈ R : x² = 1} ∩ N = {1}
\	complemento conjunto-teorético	menos; sin	teoría de conjuntos
	A \ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos de A que no se encuentran en B
	{1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2}

Funciones

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
( ) [ ] { }	aplicación de función; agrupamiento	de	funciones
	para aplicación de función: f(x) significa: el valor de la función f sobre el elemento x para agrupamiento: realizar primero las operaciones dentro del paréntesis.
	Si f(x) := x², entonces f(3) = 3² = 9; (8/4)/2 = 2/2 = 1, pero 8/(4/2) = 8/2 = 4
f:X→Y	mapeo funcional	de ... a	funciones
	f: X → Y significa: la función f mapea el conjunto X al conjunto Y
	Considérese la función f: Z → N definida por f(x) = x²

Números

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
N	números naturales	N	números
	N significa: {0,1,2,3,...}, pero véase el artículo números naturales para una convención diferente.
	{a : a ∈ Z} = N
Z	números enteros	Z	números
	Z significa: {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,...}
	{a : a ∈ N} = Z
Q	números racionales	Q	números
	Q significa: {p/q : p, q ∈ Z, q ≠ 0}
	3.14 ∈ Q; π ∉ Q
R	números reales	R	números
	R significa: {limn→∞ an : ∀ n ∈ N: an ∈ Q, el límite existe}
	π ∈ R; √(−1) ∉ R
C	números complejos	C	números
	C significa: {a + bi : a, b ∈ R}
	i = √(−1) ∈ C
√	raíz cuadrada	la raíz cuadrada de; la principal raíz cuadrada de	números reales
	√x significa: el número positivo cuyo cuadrado es x
	√(x²) = x
∞	infinito	infinito	números
	∞ es un elemento de la línea extendida de números reales mayor que todos los números reales; ocurre frecuentemente en límites
	limx→0 1/x = ∞
	valor absoluto	valor absoluto de	números
	x significa: la distancia en la línea real (o en el plano complejo) entre x y zero
	a + bi = √(a² + b²)

Órdenes parciales

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
≤ ≥	comparación	es menor o igual a, es mayor o igual a	órdenes parciales
	x ≤ y significa: x es menor o igual a y; x ≥ y significa: x es mayor o igual a y
	x ≥ 1 ⇒ x² ≥ x

Geometría euclídea

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
π	pi	pi	Geometría euclideana
	π significa: la razón de la circunferencia a su diámetro.
	A = πr² es el área de un círculo con radio r

Combinatoria

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
!	factorial	factorial	combinatoria
	n! es el producto 1×2×...×n
	4! = 24

Análisis funcional

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
	norma	norma de; longitud de	análisis funcional
	x es la norma del elemento x de un espacio vectorial normado
	x+y ≤ x + y

Cálculo

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
∫	integración	integral desde ... hasta ... de ... con respecto a ...	cálculo
	∫ab f(x) dx significa: el área, con signo, entre el eje-x y la gráfica de la función f entre x = a y x = b
	∫0b x² dx = b³/3; ∫x² dx = x³/3
f '	derivación	derivada de f; f prima	cálculo
	f '(x) es la derivada de la función f en el punto x, esto es, la pendiente de la tangente en ese lugar.
	Si f(x) = x², entonces f '(x) = 2x y f ' '(x) = 2
∇	gradiente	del, nabla, gradiente de	cálculo
	∇f (x1, …, xn) es el vector de derivadas parciales (df / dx1, …, df / dxn)
	Si f (x, y, z) = 3xy + z² entonces ∇f = (3y, 3x, 2z)
∂	derivación parcial	derivada parcial de	cálculo
	Con f (x1, …, xn), ∂f/∂xi es la derivada de f con respecto a xi, con todas las otras variables mantenidas constantes.
	Si f(x, y) = x²y, entonces ∂f/∂x = 2xy

Ortogonalidad

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
⊥	perpendicular	es perpendicular a	ortogonalidad
	x ⊥ y significa: x es perpendicular a y; o, más generalmente, x es ortogonal a y.

Álgebra matricial

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
⊥	perpendicular	traspuesta	matrices y vectores
	(a,b) con ⊥ al lado o a modo de potencia significa que el vector se debe colocar no de izquierda a derecha, sino de arriba a abajo. En numerosos trabajos de investigación se utiliza esta sintaxis al no poder representar en un documento vectores verticales.

Teoría de rejas

Símbolo	Nombre	se lee como	Categoría
⊥	fondo	el elemento fondo	teoría de rejas
	x = ⊥ significa: x es el elemento más pequeño.

Véase también

wikipedia: Cómo se edita una página contiene información acerca de cómo producir símbolos matemáticos en otros artículos.

Referencias

1. ↑ sii es usado por los matemáticos como jerga ocasional, no está reconocido como un término estándar, por lo que tampoco suele aparecer en textos formales.

''Este artículo utiliza [[Tabla de símbolos matemáticossímbolos matemáticos]]''

Enlaces externos

• Jeff Miller: Earliest Uses de Various Mathematical Symbols, http://members.aol.com/jeff570/mathsym.html
• TCAEP - Institute of Physics, http://www.tcaep.co.uk/science/symbols/maths.htm

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:S%C3%ADmbolos_matem%C3%A1ticos"

Categorías: Anexos:Matemáticas Símbolos matemáticos

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Definiendo la matemática

http://www.epsilones.com/paginas/t-definiendo.html

Definiendo la matemática -

Uno de los aspectos básicos en matemáticas es establecer definiciones claras y rigurosas de los objetos con los que se trabaja. Sin embargo la cosa se complica terriblemente cuando lo que tratamos es de definir la propia matemática.
En Definiendo la matemática vamos a coleccionar los intentos que matemáticos, científicos y filósofos han llevado a cabo para establecer qué son las matemáticas y para qué sirven. Por supuesto, se hará especial hincapié en la pregunta del millón: ¿por qué son tan efectivas las matemáticas?

-Llámanse matemáticas las ciencias que tienen por objeto el estudio de la cantidad.-Algunos matemáticos y filósofos rechazan esta definición, que les parece poco clara. Según ellos las matemáticas comprenden todos los fenómenos físicos en su forma; y por tanto pueden definirse como la ciencia que trata de las leyes de la forma del mundo físico; y considerando que en realidad el mundo físico solo presenta a nuestro estudio las dos primeras propiedades, el tiempo y el espacio, que son las formas de lo físico, puede decirse que las matemáticas tienen por objeto las leyes del tiempo y del espacio.-La ley de la cantidad aplicada al tiempo da la sucesión de instantes, es decir, el número, y aplicada al espacio da la sucesión de puntos unidos, o sea la extensión.
Felipe Picatoste y Rodríguez
1862. Vocabulario matemático-etimológico (matemáticas).

Estudio de las verdades absolutamente necesarias.
...la colección de todas las pautas e interrelaciones posibles. Algunas de estas pautas son entre formas, otras en secuencias de números, en tanto que otras son relaciones más abstractas entre estructuras.
John D. BarrowDavid Deutsch.

La matemática es la ciencia que extrae conclusiones necesarias.Benjamin Peirce Yo Victor Murkies diria todos y nada mas que las conclusiones necesarias.Citado en The Story of , p.68.

La matemática es el estudio de los conceptos bien definidos.
Daniel Henry Gottlieb.

Ciencia que trata de la cantidad.DRAE
Ciencia que trata de las relaciones entre las cantidades y magnitudes y de las operaciones que permiten hallar alguna que se busca, conociendo otras.
María Moliner (viejos diccionarios)

La matemática es la herramienta fundamental de la filosofía, es un modo de elaborar ideas, desarrollarlas, de construir modelos, ¡de comprender!Gregory Chaitin

Las matemáticas puras consisten enteramente en afirmaciones como la de que, si tal proposición es verdadera de algo, entonces tal otra proposición es verdadera de esa misma cosa. Es esencial no discutir si la primera proposición es o no es realmente verdadera, y no mencionar qué es el algo de lo que se supone que es verdadera... Si nuestra hipótesis es sobre algo y no sobre cosas más concretas, entonces nuestras deducciones constituyen matemáticas. De ese modo, las matemáticas pueden definirse como la disciplina en la que nunca sabemos de lo que estamos hablando, ni si lo que estamos diciendo es verdad.
Bertrand Russell
¿Cómo puede ser que las matemáticas, siendo después de todo un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia, estén tan admirablemente adaptadas a los objetos de la realidad?
Albert Einstein.
“Sin embargo, a pesar de la obvia efectividad de las matemáticas en física, nunca he oído un buen argumento a priori que diga que el mundo deba estar organizado de acuerdo a principios matemáticos.” “[...] las verdades matemáticas y lógicas pueden ser verdad para cualquier tiempo porque en realidad no son sobre nada que exista. Solo hablan de posibles relaciones. Por lo tanto, es un error –una clase de error categorial- imaginar que los teorema de las matemáticas son sobre “otro” o “platónico” reino que existe fuera del tiempo. Los teoremas de las matemáticas están fuera del tiempo porque no son sobre nada real. Por el contrario, todo lo que existe debe existir dentro del tiempo”.
Lee Smolin The Life of the Cosmos, pp.224,234.


- Estos autores consideran que las matemáticas son estudios humanísticos en tanto en cuanto tratan de objetos cuya existencia reside de modo compartido en los cerebros de los humanos. Sin embargo, dicen, algo caracteriza a tales objetos que también emparentan a las matemáticas con la ciencia: sus propiedades son reproducibles. Experiencia matemática, p.284.
Cabría preguntarse si, efectivamente, son independientes de la experiencia. Men of mathematics, p.xvii.
El estudio de los objetos mentales con propiedades reproducibles se denomina matemática.
Philip J. Davis y Reuben Hersh
Las matemáticas son la búsqueda de pautas.
Richard P. Feynman.El placer de descubrir, p.141.
Los números, como otros objetos matemáticos, son construcciones mentales cuyas raíces se encuentran en la adaptación del cerebro humano a las regularidades del universo.
¿Está el universo realmente "escrito en lenguaje matemático", como sostenía Galileo? Yo me inclino a pensar más bien que es este el único lenguaje con el cual podemos tratar de leerlo.
Stanislas Dehaene.
El origen evolutivo de la matemática. The number sense, p.252... no quiere decir que los métodos matemáticos puedan proporcionar certeza, sino que las verdades que persigue las matemáticas son absolutamente ciertas. Sigue siendo fuerte. La estructura de la realidad, p.257.

Es el estudio riguroso de mundos hipotéticos. Es la ciencia de lo que podría haber sido o podría ser, así como de lo que es.
Murray Gell-Mann.The Quark and the Jaguar, p.108.